CF38E Let's Go Rolling!

CF38E Let's Go Rolling!

考虑 \(\text{DP}\)。

先将弹珠按坐标升序排序。

定义 \(f_i\) 为最后一个选择原地不动的是第 \(i\) 个弹珠的最小答案。

考虑转移。由于 \(n\leq 3000\)，可以直接枚举上一个原地不动的弹珠 \(j\)，转移方程

为：

\[f_i=\min\{f_j+calc(i-1,j) | 1\leq j < i \}
\]

其中第一个弹珠必须选择原地不动： \(f_1=c_1\)，以及 \(calc(i,j)\) 为 \((j,i]\) 区间内的弹珠向左滚动的代价之和。

推导一下 \(calc(i,j)\)：

\[\begin{aligned}
calc(i,j)
&=\sum_{k=j+1}^{i} (x_k-x_j)\\
&=-(i-j)\cdot x_j + \sum_{k=j+1}^{i}x_k
\end{aligned}
\]

用前缀和优化即可。

最终答案为 \(\max \{ f_i+calc(n,i)|1\leq i \leq n \}\)。

记得开 long long。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int INF=1e18;
const int N=3005;
int n;
int f[N],s[N];
struct node{
    int x,c;
    bool operator < (const node& b) const {return x < b.x;}
}a[N];
inline int calc(int i,int j){return s[i]-s[j]-a[j].x*(i-j);}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i].x>>a[i].c;
    sort(a+1,a+n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=s[i-1]+a[i].x;
    int ans=INF;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        f[i]=INF;
        if(i==1) f[i]=a[i].c;
        for(int j=1;j<i;j++) f[i]=min(f[i],f[j]+calc(i-1,j)+a[i].c);
        ans=min(ans,f[i]+calc(n,i));
    }
    cout<<ans;
	return 0;
}