CCPC-Wannafly Winter Camp Day4 Div1 - 置置置换 - [DP]
题目链接:https://zhixincode.com/contest/18/problem/G?problem_id=265
题目描述
wls有一个整数 $n$,他想请你算一下有多少 $1...n$ 的排列(permutation)满足:对于所有的 $i(2 \le i \le n)$,若 $i$ 为奇数,则 $a[i−1]<a[i]$,否则 $a[i−1]>a[i]$。请输出答案 $\mod 1e9 + 7$。
输入描述
一行一个整数 $n$。
$1≤n≤1000$
输出描述
一行一个整数表示答案。
样例输入 1
3
样例输出 1
2
题解:
这个数大概叫 up/down number ?参见OEIS:https://oeis.org/A000111
$dp[i][j]$ 表示前 $i$ 个满足字符串条件的结尾为 $j$ 的 $i$ 的排列,这里需要注意的是 $1 \sim i$ 的排列。
那么,如果第 $i$ 位是奇数位(山峰),$dp[i][j] = dp[i-1][1] + dp[i-1][2] + \cdots + dp[i-1][j-1]$。这个是很明显的。
那么,如果第 $i$ 位是偶数位(山谷),$dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j+1] + \cdots + dp[i-1][i-1]$。因为要令当前位为 $j$,那么如果前面出现过大于等于 $j$ 的数字,就令这些数字全部加上 $1$,就能构造出排列。
这样的话,枚举 $i$,然后枚举 $j$,对于每个 $dp[i][j]$ 还需要 $O(n)$ 计算,这样一来就是 $O(n^3)$ 的时间复杂度,用前缀和可以优化到 $O(n^2)$。
AC代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=;
const int mod=1e9+; int n;
ll dp[maxn][maxn],sum[maxn][maxn]; int main()
{
cin>>n;
sum[][]=dp[][]=;
for(int i=;i<=n;i++)
{
for(int j=;j<=i;j++)
{
if(i%) //奇数
{
dp[i][j]=sum[i-][j-];
sum[i][j]=sum[i][j-]+dp[i][j], sum[i][j]%=mod;
}
else //偶数
{
dp[i][j]=(sum[i-][i-]-sum[i-][j-]+mod)%mod;
sum[i][j]=sum[i][j-]+dp[i][j], sum[i][j]%=mod;
}
}
}
cout<<sum[n][n]<<endl;
}
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