LG4980 【模板】Polya定理

题意

题目描述

给定一个$n$个点，$n$条边的环，有$n$种颜色，给每个顶点染色，问有多少种本质不同的染色方案，答案对$10^9+7$取模

注意本题的本质不同，定义为：只需要不能通过旋转与别的染色方案相同。

输入输出格式

输入格式：

第一行输入一个$t$，表示有$t$组数据

第二行开始，一共$t$行，每行一个整数$n$，意思如题所示。

输出格式：

共$t$行，每行一个数字，表示染色方案数对$10^9+7$取模后的结果

输入输出样例

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输出样例#1：
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629

说明

$$n \leq 10^9$$
$$t \leq 10^3$$

分析

先找不动点个数公式。考虑循环移动\(i\)位这个置换，把珠子循环编号。由于移动后编号要重复，所以最大的编号一定是\(\textrm{lcm}(i,m)\)。所以一个循环里面的珠子个数就是\(\frac{\textrm{lcm}(i,m)}{i}=\frac{n}{\gcd(i,n)}\)。所以共有\(\gcd(i,n)\)个循环。因此不动点个数是\(n^{\gcd(i,n)}\)

所以答案式为

\[\frac 1n\sum_{i=0}^{n-1}n^{\gcd(i,n)} \\
=\frac 1n\sum_{d|n}\varphi(\frac nd)n^d \\
=\sum_{d|n}\varphi(d) n^{\frac nd-1}
\]

我并不知道先枚约数再算欧拉函数的复杂度是多少，反正约数个数怎么也达不到\(O(\sqrt{n})\)的上界。

即使\(2^3*3*5*7*11*13*17*19*23=892371480\)，这个数也只有1024个约数，小于\(\sqrt{892371480}=29872.587433\)。

int phi(int n){
	int re=n;
	for(int i=2;i*i<=n;++i)if(n%i==0){
		re=re/i*(i-1);
		while(n%i==0) n/=i;
	}
	if(n>1) re=re/n*(n-1);
	return re;
}
void Polya(){
	int n=read<int>(),ans=0;
	for(int i=1;i*i<=n;++i)if(n%i==0){
		ans=add(ans,mul(phi(i),fpow(n,n/i-1)));
		if(i*i!=n) ans=add(ans,mul(phi(n/i),fpow(n,i-1)));
	}
	printf("%d\n",ans);
}
int main(){
//	freopen("LG4980.in","r",stdin),freopen("LG4980.out","w",stdout);
	for(int t=read<int>();t--;) Polya();
	return 0;
}

宝石纪念币

跟上面那道题一样。不过多了些要求：共17中颜色，每种都要用上。保留120位数。

那么简单容斥，并实现高精度即可。

https://cyaron.blog.luogu.org/solution-p2162

我果然写不来高精度……算是做个高精练习吧。

不想容斥的话也可以用矩阵乘法：https://www.cnblogs.com/ccz181078/p/7122566.html?utm_source=itdadao&utm_medium=referral

CO int mod=1e9;int n; // qn+r
inter node(int x){
	inter a(15);
	a[0]=x%n,a[1]=x/n;
	return a;
}
inter operator+(CO inter&a,CO inter&b){
	inter ans(15);
	ans[0]=a[0]+b[0];
	if(ans[0]>=n) ++ans[1],ans[0]-=n;
	for(int i=1;i<=14;++i){
		ans[i]+=a[i]+b[i];
		if(ans[i]>=mod){
			if(i+1<=14) ++ans[i+1];
			ans[i]-=mod;
		}
	}
	return ans;
}
inter operator-(CO inter&a,CO inter&b){ // a>=b
	inter ans(15);
	ans[0]=a[0]-b[0];
	if(ans[0]<0) --ans[1],ans[0]+=n;
	for(int i=1;i<=14;++i){
		ans[i]+=a[i]-b[i];
		if(ans[i]<0){
			if(i+1<=14) --ans[i+1];
			ans[i]+=mod;
		}
	}
	return ans;
}
inter operator*(CO inter&a,CO inter&b){
	vector<int128> ans(15);
	ans[0]=(int128)a[0]*b[0];
	ans[1]+=ans[0]/n,ans[0]%=n;
	for(int i=1;i<=14;++i){
		ans[i]+=(int128)a[i]*b[0]+(int128)a[0]*b[i];
		for(int j=1;j<=i;++j) ans[i]+=(int128)a[j]*b[i+1-j]*n;
		if(i+1<=14) ans[i+1]+=ans[i]/mod;
		ans[i]%=mod;
	}
	return inter(ans.begin(),ans.end());
}
inter pow(inter a,int b){
	inter ans(15);ans[0]=1;
	for(;b;b>>=1,a=a*a)
		if(b&1) ans=ans*a;
	return ans;
}

int phi(int n){
	int ans=n;
	for(int i=2;i*i<=n;++i)if(n%i==0){
		ans=ans/i*(i-1);
		while(n%i==0) n/=i;
	}
	if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
	return ans;
}

int C[20][20];

int main(){
	read(n);
	if(n<17){
		for(int i=1;i<=120;++i) putchar('0');
		puts("");
		return 0;
	}
	for(int i=0;i<=17;++i){
		C[i][0]=C[i][i]=1;
		for(int j=1;j<i;++j) C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
	}
	inter ans(15);
	for(int d=1;d*d<=n;++d)if(n%d==0){
		inter sum(15);
		for(int i=1;i<=17;i+=2) sum=sum+node(C[17][i])*pow(node(i),d);
		for(int i=2;i<=17;i+=2) sum=sum-node(C[17][i])*pow(node(i),d);
		sum=sum*node(phi(n/d));
		ans=ans+sum;
		if(n/d==d) continue;
		sum=node(0);
		for(int i=1;i<=17;i+=2) sum=sum+node(C[17][i])*pow(node(i),n/d);
		for(int i=2;i<=17;i+=2) sum=sum-node(C[17][i])*pow(node(i),n/d);
		sum=sum*node(phi(d));
		ans=ans+sum;
	}
	printf("%03d",ans[14]%1000); // edit 1
	for(int i=13;i>=1;--i) printf("%09d",ans[i]);
	puts("");
	return 0;
}