题意

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数集S的ForbiddenSum定义为无法用S的某个子集(可以为空)的和表示的最小的非负整数。
例如,S={1,1,3,7},则它的子集和中包含0(S’=∅),1(S’={1}),2(S’={1,1}),3(S’={3}),4(S’={1,3}),5(S' = {1, 1, 3}),但是它无法得到6。因此S的ForbiddenSum为6。
给定一个序列A,你的任务是回答该数列的一些子区间所形成的数集的ForbiddenSum是多少。

Sol

若序列已经被从小到大排序

考虑当前位置为$i$,且$[1, s_i]$内的数都可以被拼成

那么若$a[i + 1] > s_i + 1$,那么$a[i + 1]$不能被拼成

于是我们可以这样去做

首先在集合内找比$s = 1$小的数的和(也就相当于上面的前缀和),若比$1$少,则答案为$1$

若询问得到的结果是$1$,则$s = 1 + 1 = 2$,此时我们去找比$2$小的和

若$< 2$,则答案为$2$,不断做下去,直到不符合条件为止。

不符合条件,实际上也就是$a[i + 1] > s_i + 1$

每次在一段区间内询问小于等于某一个数的和,可以用主席树维护,

时间复杂度:若一直是符合条件的,我们每次询问会至少让si翻一倍,因此单次询问的复杂度为log sn,

加上主席树的复杂度,总复杂度为$O(Q logn log sn)$

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int MAXN = * 1e6 + ;
inline int read() {
char c = getchar(); int x = , f = ;
while(c < '' || c > '') {if(c == '-') f = -; c = getchar();}
while(c >= '' && c <= '') x = x * + c - '', c = getchar();
return x * f;
}
int N, a[MAXN], lim;
int ls[MAXN], rs[MAXN], sum[MAXN], tot, root[MAXN];
void insert(int &k, int p, int l, int r, int pos) {
k = ++ tot;
ls[k] = ls[p]; rs[k] = rs[p]; sum[k] = sum[p] + pos;
if(l == r) return ;
int mid = l + r >> ;
if(pos <= mid) insert(ls[k], ls[p], l, mid, pos);
else insert(rs[k], rs[p], mid + , r, pos);
}
int Query(int k, int p, int l, int r, int val) {
if(l > val) return ;
if(r <= val) return sum[k] - sum[p];
int mid = l + r >> ;
int suml = sum[ls[k]] - sum[ls[p]];
if(val > mid) return suml + Query(rs[k], rs[p], mid + , r, val);
else return Query(ls[k], ls[p], l, mid, val);
}
int solve(int l, int r) {
int nxt = ;
for(int i = ; ; i = nxt + ) {
nxt = Query(root[r], root[l - ], , lim, i);//询问区间内<=i的数的和
if(nxt < i) return i;
}
}
int main() {
N = read();
for(int i = ; i <= N; i++) a[i] = read(), lim = max(a[i], lim);
for(int i = ; i <= N; i++) insert(root[i], root[i - ], , lim, a[i]);
int Q = read();
while(Q--) {
int l = read(), r = read();
printf("%d\n", solve(l, r));
}
return ;
}

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