【CF559C】 Gerald and Giant Chess（计数，方案数DP，数论）

题意：给出一个棋盘为h*w，现在要从(1,1)到(h,w)，其中有n个黑点不能走,问有多少种可能从左上到右下

(1 ≤ h, w ≤ 105, 1 ≤ n ≤ 2000)，答案模10^9+7

思路：从(1,1)到(n,m)的方案数是c(n+m-2,n-1)

考虑不能走黑点

设dp[i]为从(1,1)走到(x[i],y[i])，中途没有走过任何一个黑点的方案数

dp[i]=dp[i]-dp[j]*c(x[i]+y[i]-x[j]-y[j],x[i]-x[j]) (x[j]<=x[i]且y[j]<=y[i])

除以阶乘取模用线性求逆元

 const mo=;
 var x,y:array[..]of longint;
     dp:array[..]of int64;
     exf,fac:array[..]of int64;
     n,m,k,i,j:longint;

 procedure swap(var x,y:longint);
 var t:longint;
 begin
  t:=x; x:=y; y:=t;
 end;

 function c(x,y:longint):int64;
 begin
 // if y= then exit();
  exit(fac[x]*exf[y] mod mo*exf[x-y] mod mo);
 end;

 procedure qsort(l,r:longint);
 var i,j,mid1,mid2:longint;
 begin
  i:=l; j:=r; mid1:=x[(l+r)>>]; mid2:=y[(l+r)>>];
  repeat
   while (mid1>x[i])or(mid1=x[i])and(mid2>y[i]) do inc(i);
   while (mid1<x[j])or(mid1=x[j])and(mid2<y[j]) do dec(j);
   if i<=j then
   begin
    swap(x[i],x[j]);
    swap(y[i],y[j]);
    inc(i); dec(j);
   end;
  until i>j;
  if l<j then qsort(l,j);
  if i<r then qsort(i,r);
 end;

 begin
 // assign(input,'1.in'); reset(input);
  //assign(output,'1.out'); rewrite(output);
  readln(n,m,k);
  for i:= to k do read(x[i],y[i]);
  inc(k); x[k]:=; y[k]:=;
  inc(k); x[k]:=n; y[k]:=m;
  qsort(,k);
  fac[]:=;
  for i:= to n+m do fac[i]:=fac[i-]*i mod mo;
  exf[]:=; exf[]:=;
  for i:= to n+m do exf[i]:=exf[mo mod i]*(mo-mo div i) mod mo;
  for i:= to n+m do exf[i]:=exf[i-]*exf[i] mod mo;
  dp[]:=;
  for i:= to k do
  begin
   dp[i]:=c(x[i]+y[i]-,x[i]-);
   for j:= to i- do
    if y[j]<=y[i] then
    begin
     dp[i]:=dp[i]-dp[j]*c(x[i]-x[j]+y[i]-y[j],x[i]-x[j]);
     dp[i]:=(dp[i] mod mo+mo) mod mo;
    end;
   end;
  writeln(dp[k]);

  //close(input);
  //close(output);
 end.