ZOJ 3537 Cake （区间DP，三角形剖分）

题意：

　　给出平面直角坐标系上的n个点的坐标，表示一个多边形蛋糕，先判断是否是凸多边形，若否，输出"I can't cut."。若是，则对这个蛋糕进行3角形剖分，切n-3次变成n-2份三角形蛋糕给小伙伴吃，但是每切一次需要一个费用，公式是：cost[i][j] = |x_i + x_j| * |y_i + y_j| % p 表示在两点i和j之间切一刀的费用。问最少费用是多少？

思路：

　　判断是否凸多边形需要用到求凸包的Andrew算法，时间复杂度为O(nlogn)，然后判断凸包内的点数是否为n就行了。（大白书p271）

　　求最小费用需要用到分治的一些思想，当然主要还是dp。

　　如下图的凸多边形（图来自这里），如果点1和点n还差1个点就成为三角形了，我们可以枚举这个点k，切两刀，取出K0（不能再切），变成K1和K2两块，以刚切的1->k和k->n这两条边为基边，继续分治切下去，直到剩下1个三角形为止。那么以edge[i][j]为基边来切开这个子凸多边形的费用是dp[i][j]=max(dp[i][j], dp[i][k]+dp[i][k]+cost[i][k]+cost[k][j])，所有点对的cost可以先求出来。注意在计算dp[i][j]时，dp[i][k]和dp[k][j]必须先求出来。

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 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cmath>
 #include <map>
 #include <deque>
 #include <algorithm>
 #include <vector>
 #include <iostream>
 #define pii pair<int,int>
 #define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
 #define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
 #define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
 #define INF 0x3f3f3f3f
 #define LL  long long
 using namespace std;
 const double PI  = acos(-1.0);
 const int N=;

 struct node
 {
     int x,y;
     node(){};
     node(int x,int y):x(x),y(y){};
 }Po[N], path[N];
 int n, p, c[N][N], dp[N][N];

 inline int cmp(node a,node b)
 {
     if(a.x==b.x)    return a.y<b.y;
     return a.x<b.x;
 }
 inline int cross(node A,node p1,node p2)    //叉积,A是新来的点。若A在p1->p2左边，则结果为正。
 {
     return (p1.x-A.x)*(p2.y-A.y) - (p2.x-A.x)*(p1.y-A.y);
 }
 int get_cost(node a,node b){return abs(a.x+b.x)*abs(a.y+b.y)%p;}    //在a和b之间切开的费用

 int ConvexHull(node *u,int n,node *path)    //求凸包，返回凸包中的点数
 {
     sort(u,u+n,cmp);            //先按x再按y排序
     int top=;
     for(int i=; i<n; i++)      //下凸包:从左到右
     {
         while(top> && cross(u[i],path[top-],path[top-])<= )  top--; //小于0，在右边
         path[top++]=u[i];
     }
     int k=top;
     for(int i=n-; i>=; i--)   //上凸包：从右到左
     {
         while(top>k && cross(u[i],path[top-],path[top-])<= )  top--;
         path[top++]=u[i];
     }
     if(n>) top--;  //起点是重复了的，要去掉
     return top;
 }

 int cal()
 {
     if(n==)    return ;           //3点则0费用
     memset(c,,sizeof(c));
     for(int i=; i<n; i++)          //任意两点间连一条边的费用c
         for(int j=i+; j<n; j++)
             c[i][j]=c[j][i]=get_cost( path[i], path[j] );
     for(int i=; i<n; i++)
     {
         for (int j=; j<n; j++) dp[i][j]=INF;
         dp[i][i+] = ;         //相邻两个点不能连线，可视为费用为0.
     }
     for(int j=; j<n; j++)          //升序
     {
         for(int i=j-; i>=; i--)   //降序
         {
             for(int k=i+; k<j; k++)    //枚举三角形顶点
                 dp[i][j]=min(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k][j]+c[i][k]+c[k][j]);
         }
     }
     return dp[][n-];
 }

 int main()
 {
     //freopen("input.txt", "r", stdin);
     while(~scanf("%d%d",&n,&p))
     {
         for(int i=; i<n; i++)    scanf("%d%d",&Po[i].x,&Po[i].y);
         if(ConvexHull(Po,n,path)<n)  puts("I can't cut.");
         else                         printf("%d\n", cal());
     }

     return ;
 }

AC代码