UVA 11427 (概率DP+期望)

题目链接: http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=35396

题目大意：每晚打游戏。每晚中，赢一局概率p，最多玩n局，如果最后不能保证胜率大于p，则从此不玩。问打游戏的天数的期望。

解题思路：

首先分析每天晚上的。

设f[i][j]为前i天，已经赢j局的概率。

由全概率公式，那么当天晚上完蛋的概率q=f[n][0]+f[n][1]+.....f[n][终止条件].

至于为什么从完蛋（输）的角度考虑，主要是由于n局的条件存在，最多n局很容易解，而n局中赢局的最大递推范围，就是0~（ j/i<=a*i）

若从当晚不完蛋的角度考虑，则赢局的范围不好确定。

最后每天晚上完蛋概率q=f[n][0~n]，（后面没推是0，所以这里偷懒取n就行）

打游戏的天数问题，是个离散型期望问题。

X	1	2	3	4	5
P	Q	Q（1-Q）	Q*(1-Q)^2	Q*(1-Q)^3	Q*(1-Q)^4
EX	1*Q	2*Q（1-Q）	3*Q*(1-Q)^2	4*Q*(1-Q)^3	5*Q*(1-Q)^4

则EX=Q+2*Q（1-Q）+3*Q*(1-Q)^2+.....

是个无穷级数，不好求和。

对这个数列进行变形：设x=EX/Q，则x=1+2（1-Q）+3*(1-Q)^2+...， ①

则（1-Q）x=（1-Q）+2*（1-Q）^2+... ②

①-②=EX=Qx=1+(1-Q)+(1-Q)^2+.... ,设1-Q=K

对这个等比数列求和，EX=lim (1-K^n)/(1-K)=1/(1-K)=1/Q。

还有一种奇葩的思考方式，设最后期望为e。

设事件A为第一天完蛋。那么P（A=1）：Q，期望是1。P（A=0）:1-Q，期望e+1，e=Q+（1-Q）*（e+1），e=1/Q.

至于为什么第一天不完蛋则期望是e+1。（=。=暂时没想出来）

#include "cstdio"
#include "cstring"
#define maxn 105
double f[maxn][maxn];
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int T,n,a,b,no=;
    double p;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        memset(f,,sizeof(f));
        scanf("%d/%d%d",&a,&b,&n);
        p=(double)a/b;
        f[][]=;f[][]=;
        for(int i=;i<=n;i++)
          for(int j=;j*b<=a*i;j++)
        {
            if(!j) f[i][j]=f[i-][j]*(-p);
            else f[i][j]=f[i-][j]*(-p)+f[i-][j-]*p;
        }
        double q=;
        for(int i=;i<=n;i++) q+=f[n][i];
        printf("Case #%d: %d\n",++no,int(/q));
    }
}

3333670

neopenx

UVA

11427

Accepted

29

C++ 4.8.2

623

2015-02-09 23:33:29