【NOIP2013模拟】终极武器（经典分析+二分区间）

No.2. 【NOIP2013模拟】终极武器

• 题意：
  • 给定你一些区间，然后让你找出\(1\sim 9\)中的等价类数字.
  • 也就是说在任何一个区间里的任何一个数，把其中后\(k\)位中的某一位换成等价类数字，仍然在某个区间中。
  • \(n\le 10^5, k\le 18\)

• 据说这是一道防AK题，考场上能拿到满分确实是比较困难的.

• 要有耐心的推，先从简单情况入手.

• 这里给出详细的题解：

• 因为要判断等价类数字，所以我们可以用一个矩阵\(a[i][j]=1\)表示\(i,j\)是等价的，否则不等价.

• 此时例如我要判断\(12345\sim 12378\)中的等价类数字，这个比较容易，假设\(k=3\)，则当我枚举倒数第\(3\)位时，注意到\(l,r\)的前三位都相同，此时我只需要判断把\(3\)改成\(x\)之后\(12x45\sim 12x78\)是否都出现且出现在在同一个区间中.

• 如何判断一个区间\(l,r\)是否出现在同一区间？

• 我们可以把多个区间首尾合并一下，因为保证了区间没有交集，所以可以直接二分一下\(l,r\)所在区间，判断是否相同即可.

• 解决完这个问题之后，我们就可以完美解决上面的例子.

• 但如果是区间\(12345\sim 12758\)呢？此时枚举到第\(3\)位时，会发现，区间\(3\sim 7\)都是第\(3\)位原本存在的数.

• 所以我们需要先枚举第\(3\)位原本的数，然后再枚举换成什么数，看一下是否出现在对应区间里.

• 可以分成三类，即\(3,4\sim 6,7\)，出现的区间分别是\(45\sim 99, 0\sim 99, 0\sim 58\).

• 但还有第三种情况，例如\(12345\sim 78543\)，此时假设依然枚举第\(3\)位，会发现，前两位的数都不相同。

• 这时，需要仔细观察，会发现，其实\(13[][][] \sim 77[][][]\)这些位上的数是没任何用的，因为不管你倒数第三位怎么改，前两位已经出现在区间中，所以这样的改动是没有任何意义的，所以我们也不需要判断.

• 然后问题就转化为判断\(12345\sim 12999\)以及\(78000\sim 78543\)这两段区间了.

• 于是又转化为之前熟悉的问题.

• 至此，本题完美解决，总结一下，用到了两个套路：

  • 用矩阵表示等价类.
  • 用二分判断区间是否出现，合并区间的思想很重要.