首先附上matrix67大神的讲解:

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Miller和Rabin两个人的工作让Fermat素性测试迈出了革命性的一步,建立了传说中的Miller-Rabin素性测试算法。新的测试基于下面的定理:如果p是素数,x是小于p的正整数,且x^2 mod p = 1,那么要么x=1,要么x=p-1。这是显然的,因为x^2 mod p = 1相当于p能整除x^2-1,也即p能整除(x+1)(x-1)。由于p是素数,那么只可能是x-1能被p整除(此时x=1)或x+1能被p整除(此时x=p-1)。
    我们下面来演示一下上面的定理如何应用在Fermat素性测试上。前面说过341可以通过以2为底的Fermat测试,因为2^340 mod 341=1。如果341真是素数的话,那么2^170 mod 341只可能是1或340;当算得2^170 mod 341确实等于1时,我们可以继续查看2^85除以341的结果。我们发现,2^85 mod 341=32,这一结果摘掉了341头上的素数皇冠,面具后面真实的嘴脸显现了出来,想假扮素数和我的素MM交往的企图暴露了出来。
    这就是Miller-Rabin素性测试的方法。不断地提取指数n-1中的因子2,把n-1表示成d*2^r(其中d是一个奇数)。那么我们需要计算的东西就变成了a的d*2^r次方除以n的余数。于是,a^(d * 2^(r-1))要么等于1,要么等于n-1。如果a^(d * 2^(r-1))等于1,定理继续适用于a^(d * 2^(r-2)),这样不断开方开下去,直到对于某个i满足a^(d * 2^i) mod n = n-1或者最后指数中的2用完了得到的a^d mod n=1或n-1。这样,Fermat小定理加强为如下形式:
    尽可能提取因子2,把n-1表示成d*2^r,如果n是一个素数,那么或者a^d mod n=1,或者存在某个i使得a^(d*2^i) mod n=n-1 ( 0<=i<r ) (注意i可以等于0,这就把a^d mod n=n-1的情况统一到后面去了)
    Miller-Rabin素性测试同样是不确定算法,我们把可以通过以a为底的Miller-Rabin测试的合数称作以a为底的强伪素数(strong pseudoprime)。第一个以2为底的强伪素数为2047。第一个以2和3为底的强伪素数则大到1 373 653。
    Miller-Rabin算法的代码也非常简单:计算d和r的值(可以用位运算加速),然后二分计算a^d mod n的值,最后把它平方r次。程序的代码比想像中的更简单,我写一份放在下边。虽然我已经转C了,但我相信还有很多人看不懂C语言。我再写一次Pascal吧。函数IsPrime返回对于特定的底数a,n是否是能通过测试。如果函数返回False,那说明n不是素数;如果函数返回True,那么n极有可能是素数。注意这个代码的数据范围限制在longint,你很可能需要把它们改成int64或高精度计算。
function pow( a, d, n:longint ):longint;
begin
   if d=0 then exit(1)
   else if d=1 then exit(a)
   else if d and 1=0 then exit( pow( a*a mod n, d div 2, n) mod n)
   else exit( (pow( a*a mod n, d div 2, n) * a) mod n);
end;

function IsPrime( a,n:longint ):boolean;
var
   d,t:longint;
begin
   if n=2 then exit(true);
   if (n=1) or (n and 1=0) then exit(false);
   d:=n-1;
   while d and 1=0 do d:=d shr 1;
   t:=pow( a, d, n );
   while ( d<>n-1 ) and ( t<>1 ) and ( t<>n-1 ) do
   begin
      t:=(t * t)mod n;
      d:=d shl 1;
   end;
   exit( (t=n-1) or (d and 1=1) );
end;

    对于大数的素性判断,目前Miller-Rabin算法应用最广泛。一般底数仍然是随机选取,但当待测数不太大时,选择测试底数就有一些技巧了。比如,如果被测数小于4 759 123 141,那么只需要测试三个底数2, 7和61就足够了。当然,你测试的越多,正确的范围肯定也越大。如果你每次都用前7个素数(2, 3, 5, 7, 11, 13和17)进行测试,所有不超过341 550 071 728 320的数都是正确的。如果选用2, 3, 7, 61和24251作为底数,那么10^16内唯一的强伪素数为46 856 248 255 981。这样的一些结论使得Miller-Rabin算法在OI中非常实用。通常认为,Miller-Rabin素性测试的正确率可以令人接受,随机选取k个底数进行测试算法的失误率大概为4^(-k)。

Miller-Rabin算法是一个RP算法。RP是时间复杂度的一种,主要针对判定性问题。一个算法是RP算法表明它可以在多项式的时间里完成,对于答案为否定的情形能够准确做出判断,但同时它也有可能把对的判成错的(错误概率不能超过1/2)。RP算法是基于随机化的,因此多次运行该算法可以降低错误率。还有其它的素性测试算法也是概率型的,比如Solovay-Strassen算法。另外一些素性测试算法则需要预先知道一些辅助信息(比如n-1的质因子),或者需要待测数满足一些条件(比如待测数必须是2^n-1的形式)。前几年AKS算法轰动世界,它是第一个多项式的、确定的、无需其它条件的素性判断算法。当时一篇论文发表出来,题目就叫PRIMES is in P,然后整个世界都疯了,我们班有几个MM那天还来了初潮。算法主要基于下面的事实:n是一个素数当且仅当(x-a)^n≡(x^n-a) (mod n)。注意这个x是多项式中的未知数,等式两边各是一个多项式。举个例子来说,当a=1时命题等价于如下结论:当n是素数时,杨辉三角的第n+1行除两头的1以外其它的数都能被n整除。

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

这儿的快速幂写丑了。。。

前面都没有问题,我们主要来研究exit( (t=n-1) or (d and 1=1) )这句话;

or后面的意思是 a ^d mod p=1 or p-1

前面的意思是 a ^d在反复平方的过程中某一次 mod p=p-1,为什么是p-1呢,为什么不再 or t=1呢?

事实上,如果 a ^d在反复平方的过程中某一次 mod p=1,那么x ^2 mod p=1?

那么x=1 or p-1,又因为x不等于1,因为我们在最开始检验了 a ^d mod p是否=1 or p-1,

如果不是的话,在反复平方的过程中一定会先出现p-1,而不是1,而且如果出现1的话,那么一定之前出现了p-1,否则一直往前推,a ^d mod p=1 这与进入while循环矛盾

所以,这样的算法是没有问题的

我的代码:

 var p,n,m:int64; t:longint;
procedure init;
begin
readln(p);
end;
procedure mul(x,y:int64;var z:int64);
var tmp:int64;
begin
tmp:=;
while y> do
begin
if odd(y) then tmp:=(tmp+x) mod p;
y:=y>>;
x:=(x+x) mod p;
end;
z:=tmp;
end; function check(x:int64):boolean;
var cs,y,z:int64;
j:longint;
begin
cs:=n;y:=;
while cs> do
begin
if odd(cs) then mul(y,x,y);
cs:=cs>>;
mul(x,x,x);
end;
z:=n;
while (z<>p-) and (y<>) and (y<>p-) do
begin
mul(y,y,y);
z:=z<<;
end;
exit((odd(z)) or (y=p-));
end; function isprime(p:int64):boolean;
var i:longint;
begin
if (not(odd(p))) or (p=) then exit(false);
n:=p-;m:=;
while n and = do n:=n>>;
for i:= to do
if not(check(random(p-)+)) then exit(false);
exit(true);
end;
procedure main;
begin
if isprime(p) then writeln('Yes') else writeln('No');
end;
begin
assign(input,'input.txt');assign(output,'output.txt');
reset(input);rewrite(output);
readln(t);
while t> do
begin
dec(t);
init;
main;
end;
close(input);close(output);
end.

Rabin-Miller算法的更多相关文章

  1. Miller Rabin素数检测与Pollard Rho算法

    一些前置知识可以看一下我的联赛前数学知识 如何判断一个数是否为质数 方法一:试除法 扫描\(2\sim \sqrt{n}\)之间的所有整数,依次检查它们能否整除\(n\),若都不能整除,则\(n\)是 ...

  2. 模式字符串匹配问题(KMP算法)

    这两天又看了一遍<算法导论>上面的字符串匹配那一节,下面是实现的几个程序,可能有错误,仅供参考和交流. 关于详细的讲解,网上有很多,大多数算法及数据结构书中都应该有涉及,由于时间限制,在这 ...

  3. Leetcode #28. Implement strStr()

    Brute Force算法,时间复杂度 O(mn) def strStr(haystack, needle): m = len(haystack) n = len(needle) if n == 0: ...

  4. Google Interview University - 坚持完成这套学习手册,你就可以去 Google 面试了

    作者:Glowin链接:https://zhuanlan.zhihu.com/p/22881223来源:知乎著作权归作者所有.商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处. 原文地址:Google ...

  5. USACO chapter1

    几天时间就把USACO chapter1重新做了一遍,发现了自己以前许多的不足.蒽,现在的程序明显比以前干净很多,而且效率也提高了许多.继续努力吧,好好的提高自己.这一章主要还是基本功的训练,没多少的 ...

  6. LintCode ---- 刷题总结

    对于一个给定的 source 字符串和一个 target 字符串,你应该在 source 字符串中找出 target 字符串出现的第一个位置(从0开始).如果不存在,则返回 -1. 基本:两重for循 ...

  7. 九章lintcode作业题

    1 - 从strStr谈面试技巧与代码风格 必做题: 13.字符串查找 要求:如题 思路:(自写AC)双重循环,内循环读完则成功 还可以用Rabin,KMP算法等 public int strStr( ...

  8. Miller-Robin 素数测试法 模板

    测试单个素数,出错概率比计算机本身出错的概率还要低 算法是基于费马小定理(format),二次探测定理(x*x % p == 1 ,若P为素数,则x的解只能是x = 1或者x = p - 1)加上迭代 ...

  9. Miller Rabin算法详解

    何为Miller Rabin算法 首先看一下度娘的解释(如果你懒得读直接跳过就可以反正也没啥乱用:joy:) Miller-Rabin算法是目前主流的基于概率的素数测试算法,在构建密码安全体系中占有重 ...

  10. Pollard rho算法+Miller Rabin算法 BZOJ 3668 Rabin-Miller算法

    BZOJ 3667: Rabin-Miller算法 Time Limit: 60 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 1044  Solved: 322[Submit][ ...

随机推荐

  1. 09_TomCat_基础知识

    [TomCat目录结构] bin----------存放TomCat的操作命令.bat:window版本,sh:Linux版本. startup.bat:   后台在调用catalina.bat st ...

  2. 学习C++ Primer 的个人理解(九)

    这一章介绍顺序容器,在之前的第三章中,了解到的vector就属于顺序容器的一种. 一个容器就是一些特定类型对象的集合. 除了vector,还有哪些顺序容器? vector: 大小可变,随机访问的速度很 ...

  3. 生产者消费者问题c语言实现

    #include <stdio.h> #include <process.h> #include <Windows.h> //信号量与关键段 CRITICAL_SE ...

  4. OpenJudge/Poj 1658 Eva's Problem

    1.链接地址: http://bailian.openjudge.cn/practice/1658 http://poj.org/problem?id=1658 2.题目: 总时间限制: 1000ms ...

  5. 让c像python一样可以在命令行写代码并且编译

    在你亲爱的.bashrc/.zshrc中添加 ###C###go_libs="-lm"go_flags="-g -Wall -include allheads.h -O3 ...

  6. sql System.Data.SqlClient.SqlError: 无法覆盖文件 'C:\Program Files\Microsoft SQL Server\MSSQL\data\itsm_Data.MDF'。数据库 'my1' 正在使用该文件的解决方案

    对数据库备份进行还原时遇到“sql System.Data.SqlClient.SqlError: 无法覆盖文件 'C:\Program Files\Microsoft SQL Server\MSSQ ...

  7. 恢复Delphi XE2的Library Path

    Delphi XE2好好的,手贱乱删,结果新建一个工程都不能编译了,出现:DELPHI X2 [DCC Fatal Error] KjcxClient.dpr(1): F1027 Unit not f ...

  8. 【python】Windows安装Beautiful Soup

    环境:win10,python 3.5,Beautiful Soup 4.1   步骤1:设定python为系统环境变量,具体设置如下图,在文本后加上";C:\Python35;C:\Pyt ...

  9. 【Ubuntu12.04】安装搜狗输入法

    我的系统版本是Ubuntu12.04 32位 卸载Ibus输入法 sudo apt-get remove ibus 注意: 安装ibus的命令是  sudo apt-get install fcitx ...

  10. hive 存储格式

    hive有textFile,SequenceFile,RCFile三种文件格式. textfile为默认格式,建表时不指定默认为这个格式,导入数据时会直接把数据文件拷贝到hdfs上不进行处理. Seq ...