洛谷 P1450 解题报告

P1450.硬币购物

题目描述

硬币购物一共有\(4\)种硬币。面值分别为\(c1,c2,c3,c4\)。某人去商店买东西，去了\(tot\)次。每次带\(d_i\)枚\(c_i\)硬币，买\(s_i\)的价值的东西。请问每次有多少种付款方法。

输入输出格式

输入格式：

第一行 \(c_1,c_2,c_3,c_4,tot\) 下面\(tot\)行 \(d_1,d_2,d_3,d_4,s\)

输出格式：

每次的方法数

说明

\(di,s<=100000\)

\(tot<=1000\)

---

很容易想到的，转化成多重背包

        dp[0]=1;
        for(int i=1;i<=4;i++)
            for(int k=s;k>=0;k--)
                if(dp[k])
                    for(int j=1;j<=a[i];j++)
                        dp[k+j*c[i]]+=dp[k];
        printf("%d\n",dp[s]);

结果当然是\(t\)飞啦

---

如果我们当成完全背包来做的话，当放入物品个数大于限制条件时的一部分是非法的。

假设仅仅针对价值为\(c\)的物品\(i\),存在数量上限\(d\),要凑成的钱数为\(s\).

\(dp[s]\)为装无限个\(i\)时凑成\(s\)的方案数

\(dp[s-c*(d+1)]\)为装无限个\(i\)时凑成\(s-c*(d+1)\)的方案数

相减得到什么？ 不仅是装上限为\(d\)个时的方案数吗

---

然而这只是针对一个物品而言，如果有多个物品呢？

存在多个约束相交的情况，那么根据容斥原理，多的减，少的回加即可。

code：

#include <cstdio>
#define ll long long
const int N=100010;
int c[5],tot,a[5],s;
ll dp[N];
int main()
{
    for(int i=1;i<=4;i++) scanf("%d",c+i);
    scanf("%d",&tot);
    dp[0]=1;
    for(int i=1;i<=4;i++)
        for(int j=c[i];j<=N;j++)
            dp[j]+=dp[j-c[i]];
    while(tot--)
    {
        for(int i=1;i<=4;i++) scanf("%d",a+i);
        scanf("%d",&s);
        ll ans=0;
        for(int i=0;i<=15;i++)
        {
            int flag=0,t=0;
            for(int j=1;j<=4;j++)
                if((i>>j-1)&1)
                {
                    t+=c[j]*(a[j]+1);
                    flag^=1;
                }
            ll tt=(s>=t?dp[s-t]:0);
            ans+=(flag?-tt:tt);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

---

注意这时候枚举子集的方法。

---

2018.5.4