题解 P4783 【【模板】矩阵求逆】

题目大意

求一个N×N的矩阵的逆矩阵。答案对10^9+7取模。N<=400

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前置知识

矩阵的初等变换

矩阵的逆定义为 A*B=E（E为单位矩阵）此时B为A的逆

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思路

如果矩阵有逆

那么这个矩阵经过一系列初等变化之后可以变为E

设一系列初等变化分别为p1,p2,p3...px

显然可得A*p1*p2*p3*...*px=E

所以B=p1*p2*p3*...*px

这样的话就很好做了

我们利用高斯消元来让A逐渐变为单位矩阵

设B初始为E

B也跟着A同步变换

那么到A变为单位矩阵时 B也就是p1*p2*p3*...*px的值了

矩阵无逆的情况显然是高斯消元无法再消（a[1][i]-a[n][i]都为0时）特判输出就行哩

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代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define C getchar()-48
inline ll read()
{
    ll s=,r=;
    char c=C;
    for(;c<||c>;c=C) if(c==-) r=-;
    for(;c>=&&c<=;c=C) s=(s<<)+(s<<)+c;
    return s*r;
}
const ll N=,p=1e9+;
ll n;
struct xin{
    ll a[N][N];
    //inline int* operator [](int x){return a[x];} //  b的话直接调用b[][]
    inline void swap(int x,int y){for(int i=;i<=n;i++) swap(a[x][i],a[y][i]);}
    inline void mul(int x,int k){for(int i=;i<=n;i++) a[x][i]=(a[x][i]*k%p+p)%p;}//a[x]=k*a[y];
    inline void add(int x,int y,int k){for(int i=;i<=n;i++) a[x][i]=((a[x][i]+a[y][i]*k)%p+p)%p;}// a[x]加k*a[y]
    inline void prt()
    {
        for(int i=;i<=n;i++)
        {
            for(int j=;j<=n;j++) printf("%lld ",a[i][j]);
            printf("\n");
        }
    }
}a,b;
inline ll ksm(ll a,ll b)
{
    ll ans=;
    while(b)
    {
        if(b&) ans=(ans*a)%p;
        a=(a*a)%p;
        b>>=;
    }
    return ans;
}
void gaosi()
{
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        if(!a.a[i][i]) for(int j=i+;j<=n;j++) if(a.a[j][i])
        {
            a.swap(i,j);b.swap(i,j);
            break;
        }
        if(!a.a[i][i]){printf("No Solution\n");exit();}
        b.mul(i,ksm(a.a[i][i],p-));a.mul(i,ksm(a.a[i][i],p-));//把所有项除a[i][i] 变成a[i][i]变成1
        for(int j=;j<=n;j++)
        {
            if(i==j) continue;
            b.add(j,i,-a.a[j][i]);a.add(j,i,-a.a[j][i]);//消去  b要放前面因为a放前面会被修改
        }
    }
}
int main()
{
    n=read();
    for(int i=;i<=n;i++)
    for(int j=;j<=n;j++)
      a.a[i][j]=read();
    for(int i=;i<=n;i++) b.a[i][i]=;
    gaosi();
    b.prt();
    return ;
}