【[NOI2013]矩阵游戏】

我们看到了及其可怕的数据范围

这个样子都没有办法直接读入的数据范围应该怎么算

我们观察一下递推式\(f[i][j]=a*f[i][j]+b(j!=1)\)

\(f[i][1]=c*f[i-1][m]+d\)

转移非常简单，于是可以考虑一下矩阵乘法

如果我们将这个矩阵破坏成一个链，那么就会有这种形式的递推

连续推\(m\)次第一个柿子，之后再推一次第二个柿子，之后反复

重复上面的过程\(n\)次就好了

于是我们可以将连续转移\(m\)次一式的到的矩阵和第二个式子的转移矩阵乘起来，之后将这个矩阵再转移\(n\)次就是答案了

由于\(n,m\)是在太大了，我们又发现模数是质数，于是我们可以利用费马小定理来降幂

则有

\[A^{mod-1}\%mod=1
\]

所以

\[A^m\equiv A^{m\%(mod-1)}(\%\ mod )
\]

至于为什么要特判\(a=1\)

我怎么知道啊

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define re register
#define maxn 5
#define LL long long
const LL mod=1000000007;
char N_[1000005],M_[1000005];
LL n,m,a,b,c,d;
inline LL read()
{
	char c=getchar();
	LL x=0;
	while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9')
	  x=x*10%(mod-1)+c-48,c=getchar();
	return x;
}
struct Mat
{
	LL a[4][4],ans[4][4];
	inline void did_ans()
	{
		LL mid[4][4];
		for(re int i=1;i<=2;i++)
			for(re int j=1;j<=2;j++)
				mid[i][j]=ans[i][j],ans[i][j]=0;
		for(re int i=1;i<=2;i++)
			for(re int j=1;j<=2;j++)
				for(re int p=1;p<=2;p++)
					ans[i][j]=(ans[i][j]+(a[i][p]*mid[p][j])%mod)%mod;
	}
	inline void did_a()
	{
		LL mid[4][4];
		for(re int i=1;i<=2;i++)
			for(re int j=1;j<=2;j++)
				mid[i][j]=a[i][j],a[i][j]=0;
		for(re int i=1;i<=2;i++)
			for(re int j=1;j<=2;j++)
				for(re int p=1;p<=2;p++)
					a[i][j]=(a[i][j]+(mid[i][p]*mid[p][j])%mod)%mod;
	}
}R,L,K;
inline void mul(Mat &A,Mat &B)
{
	LL mid[4][4];
	for(re int i=1;i<=2;i++)
		for(re int j=1;j<=2;j++)
			mid[i][j]=A.ans[i][j],A.ans[i][j]=0;
	for(re int i=1;i<=2;i++)
		for(re int j=1;j<=2;j++)
			for(re int p=1;p<=2;p++)
				A.ans[i][j]=(A.ans[i][j]+(mid[i][p]*B.ans[p][j])%mod)%mod;
	for(re int i=1;i<=2;i++)
		for(re int j=1;j<=2;j++)
			A.a[i][j]=A.ans[i][j];
}
int main()
{
	scanf("%s%s",N_+1,M_+1);
	a=read(),b=read(),c=read(),d=read();
	int lenn=strlen(N_+1);
	if(a==1)
	{
		for(re int i=1;i<=lenn;i++) n=n*10%mod+N_[i]-48;
		n=(n-2+mod)%mod;
	}
	else
	{
		for(re int i=1;i<=lenn;i++) n=n*10%(mod-1)+N_[i]-48;
		n=(n-2+mod-1)%(mod-1);
	}
	lenn=strlen(M_+1);
	if(c==1)
	{
		for(re int i=1;i<=lenn;i++) m=m*10%mod+M_[i]-48;
		m=(m-2+mod)%mod;
	}
	else
	{
		for(re int i=1;i<=lenn;i++) m=m*10%(mod-1)+M_[i]-48;
		m=(m-2+mod-1)%(mod-1);
	}
	R.a[1][1]=R.ans[1][1]=1;
	R.a[2][1]=R.ans[2][1]=b;
	R.ans[2][2]=R.a[2][2]=a;
	R.ans[1][2]=R.a[1][2]=0;
	K=R;
	while(m)
	{
		if(m&1) R.did_ans();
		m>>=1;
		R.did_a();
	}
	L.a[1][1]=L.ans[1][1]=1;
	L.a[2][1]=L.ans[2][1]=d;
	L.a[2][2]=L.ans[2][2]=c;
	L.ans[1][2]=L.a[1][2]=0;
	mul(L,R);
	while(n)
	{
		if(n&1) L.did_ans();
		n>>=1;
		L.did_a();
	}
	printf("%lld",((L.ans[2][1]+L.ans[2][2])%mod*R.ans[2][2]%mod+R.ans[2][1])%mod);
	return 0;
}