LightOJ 1336 - Sigma Function

原题链接 基础数论中很经典的一道题

题意

给出了σ(n)的计算公式，让你找出整数1～n中有多少对应σ(n)的值是偶数.

思路

观察σ(n)的公式发现，每一个乘项都是 (p_i^e_i+1 - 1) / (p_i - 1) 这样，类比等比数列前n项和公式：

(p_i^e_i+1 - 1) / (p_i - 1) = （1 - p_i^e_i+1) / (1 - p_i) = 1 + p_i + p_i² + ... + p_i^e_i

即 σ(n) = ∏(1 + p_i + p_i² + ... + p_i^e_i)

题目要找σ(n)是偶数的值，我们进一步思考如何保证σ(n)是偶数，能否通过上面得到的乘项来确定σ(n)的奇偶性?

我们首先知道奇数运算有一个性质: 做乘法运算时，只有奇数乘奇数才可以的到奇数.

显然利用奇数来讨论会更加容易，我们可以先找到使σ(n)为奇数的情况数，再用总数减去即可得到偶数的情况数.

利用上面的性质可知，若σ(n)是奇数，则每一个乘项(1 + p_i + p_i² + ... + p_i^e_i)必须全为奇数.

因此可做下面的讨论:

从质因子p入手，我们知道任何除2以外的质数都是奇数.

1. 若质因子中不存在 p_i = 2，则 p_i必为奇数，p_i的幂也必为奇数，

　要使(1 + p_i + p_i² + ... + p_i^e_i)为奇数，需保证e_i为偶数(确保偶数个奇数项相加，再加1及为奇数)

又因为n = p1e1 * p2e2 * ... * pkek，ei是偶数，则n必为一个完全平方数.

2. 若质因子中存在一个 p_i = 2，

　则p_i = 2对应的乘项必为奇数，无论e_k是奇数还是偶数.

然后需保证其他所有乘项为奇数.

　n = p1e1 * p2e2 * ... * pkek，

若p_i = 2对应e_k为偶数，则n必为一个完全平方数.

若p_i = 2对应e_k为奇数，那么n再除以一个2后，n必为完全平方数.

综合以上两种情况后，我们只需统计1～n中所有的完全平方数以及除以2以后是完全平方数的数之和，再用n减去即可得到最终答案.

代码

 #include <iostream>
 #include <cmath>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 int main()
 {
     int t;
     cin >> t;
     for (int i = ; i <= t; i++) {
         ll n;
         cin >> n;
         ll ans = n;
         ans -= (ll)sqrt(n) + (ll)sqrt(n / 2.0);
         printf("Case %d: %lld\n", i, ans);
     }
     return ;
 }