MATLAB实现插值和拟合

插值问题
在应用领域中，由有限个已知数据点，构造一个解析表达式，由此计算数据点之间的函数值，称之为插值。
实例：海底探测问题
某公司用声纳对海底进行测试，在5×5海里的坐标点上测得海底深度的值，希望通过这些有限的数据了解更多处的海底情况。并绘出较细致的海底曲面图。
一、一元插值
一元插值是对一元数据点(xi,yi)进行插值。
1．  线性插值：由已知数据点连成一条折线，认为相临两个数据点之间的函数值就在这两点之间的连线上。一般来说，数据点数越多，线性插值就越精确。
调用格式：yi=interp1(x,y,xi,’linear’)  %线性插值
zi=interp1(x,y,xi,’spline’)  %三次样条插值
wi=interp1(x,y,xi,’cubic’)  %三次多项式插值
说明：yi、zi、wi为对应xi的不同类型的插值。x、y为已知数据点。
例1：已知数据：
x 0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1
y .3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2
求当xi=0.25时的yi的值。
程序：
x=0:.1:1;
y=[.3 .5 1 1.4 1.6 1 .6 .4 .8 1.5 2];
yi0=interp1(x,y,0.025,'linear')
xi=0:.02:1;
yi=interp1(x,y,xi,'linear');
zi=interp1(x,y,xi,'spline');
wi=interp1(x,y,xi,'cubic');
plot(x,y,'o',xi,yi,'r+',xi,zi,'g*',xi,wi,'k.-')
legend('原始点','线性点','三次样条','三次多项式')
结果：yi0 =  0.3500

要得到给定的几个点的对应函数值，可用：
xi =[ 0.2500  0.3500  0.4500]
yi=interp1(x,y,xi,'spline')
结果：
yi =1.2088  1.5802  1.3454
(二) 二元插值
二元插值与一元插值的基本思想一致，对原始数据点(x,y,z)构造见世面函数求出插值点数据(xi,yi,zi)。
一、单调节点插值函数，即x,y向量是单调的。
调用格式1：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,’linear’)
‘liner’ 是双线性插值 (缺省)
调用格式2：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,’nearest’)
’nearest’ 是最近邻域插值
调用格式3：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,’spline’)
‘spline’是三次样条插值
说明：这里x和y是两个独立的向量，它们必须是单调的。z是矩阵，是由x和y确定的点上的值。z和x,y之间的关系是z(i,:)=f(x,y(i)) z(:,j)=f(x(j),y) 即：当x变化时，z的第i行与y的第i个元素相关，当y变化时z的第j列与x的第j个元素相关。如果没有对x,y赋值，则默认x=1:n, y=1:m。n和m分别是矩阵z的行数和列数。
例2：已知某处山区地形选点测量坐标数据为：
x=0  0.5  1  1.5  2  2.5  3  3.5  4  4.5  5
y=0  0.5  1  1.5  2  2.5  3  3.5  4  4.5  5  5.5  6
海拔高度数据为：
z=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82
   92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84
   96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85
   80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86
   82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83
   82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88
   88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92
   92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84
   85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95
   84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87
   80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88
   80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82
   87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87
其地貌图为：

对数据插值加密形成地貌图。
程序：
x=0:.5:5;
y=0:.5:6;
z=[89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82
   92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84
   96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85
   80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86
   82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83
   82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88
   88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92
   92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84
   85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95
   84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87
   80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88
   80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82
   87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87];
mesh(x,y,z)  %绘原始数据图
xi=linspace(0,5,50);  %加密横坐标数据到50个
yi=linspace(0,6,80);  %加密纵坐标数据到60个
[xii,yii]=meshgrid(xi,yi);  %生成网格数据
zii=interp2(x,y,z,xii,yii,'cubic');  %插值
mesh(xii,yii,zii)  %加密后的地貌图
hold on     % 保持图形
[xx,yy]=meshgrid(x,y);  %生成网格数据
plot3(xx,yy,z+0.1,'ob')  %原始数据用‘O’绘出

2、二元非等距插值
调用格式：zi=griddata(x,y,z,xi,yi,’指定插值方法’)
插值方法有： linear          % 线性插值   (默认)
             bilinear     % 双线性插值
             cubic        % 三次插值
             bicubic      % 双三次插值
             nearest      % 最近邻域插值
例：用随机数据生成地貌图再进行插值
程序：
x=rand(100,1)*4-2;
y=rand(100,1)*4-2;
z=x.*exp(-x.^2-y.^2);
ti=-2:.25:2;
[xi,yi]=meshgrid(ti,ti); % 加密数据
zi=griddata(x,y,z,xi,yi);% 线性插值
mesh(xi,yi,zi)
hold on
plot3(x,y,z,'o')

拟合

简单多项式拟合

x=[0,1,2,3,4,5,7,8,9,10]

y=[0.3 ,0.5, 1, 1.4, 1.6, 1.6, 1.4, 1.8, 1.5, 2];

aa=polyfit(x,y,2);%2的位置表示函数的最高系数，aa是函数方程

a=aa(1)%第一个参数

b=aa(2)%第二个参数

c=aa(3)%第三个参数

y=polyval(aa,x);%根据函数方程获取的到y值

plot(x,y,'r');%r获取的是直线，k+获取的是点，应该使用拟合后的直线画图