关于 Cantor 集不可数的新观点

第一步操作:将区间 $[0,1]$ 中去掉开区间 $(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$ 后,就形成了两个不交闭区间.于是这两个不交闭区间中至少有两个元素,正好是集合 $\{1\}$ 的幂集的基数.

第二步操作:形成 $4$ 个不交闭区间,正好是集合 $\{1,2\}$ 的幂集的基数.

$$\vdots$$

第 $n$ 步操作:形成 $2^n$ 个不交闭区间,正好是集合 $\{1,2,\cdots,n\}$ 的幂集的基数.

于是,经过可数步操作后,形成的 Cantor 三分集.存在该 Cantor 三分集到集合 $\{1,2,\cdots,n,\cdots\}$ 的幂集的单射.而 $\{1,2,\cdots,n,\cdots\}$ 的幂集是不可数集合,于是 Cantor 集合是不可数集合.