洛谷3834 hdu2665主席树模板，动态查询区间第k小

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P3834

对于区间查询第k小的问题，在区间数量达到5e5的时候是难以用朴素数据结构实现的，这时候主席树就应运而生了，主席树的最基础模板就是查询区间第k小树，其实他在可持久化操作上是十分上手的。主席树在线段树和离散化的基础上实现，树中每一个结点存的是当前结点代表的区间中数的数量，所以初始时刻每个结点的值都是零。然后要插入一个数a到达位置a，并且向上更新所有包含位置a的区间。主席树中每次要插入一个数就新建O(logn）量级的结点，其余结点与前一个树共用，这就实现了空间复杂度的最小化和空间的充分利用。我们在查询[L,R]区间的第K大的数的时候就要利用主席树的函数性质，即其各结点状态可减性，我们只要使得根节点编号为R的与根节点编号为L-1的两个树在结点同步时相减就能得到一棵[L,R]区间状态的树，进而用分治的思想查询树中的第K小。

以下是我手写的一份模板，用的是struct存状态，主席树的代码还是非常简单的，笔者为了让读者更好地理解，写了详细的注释：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef unsigned int ui;
 typedef long long ll;
 typedef unsigned long long ull;
 #define pf printf
 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 #define prime1 1e9+7
 #define prime2 1e9+9
 #define pi 3.14159265
 #define lson l,mid,rt<<1
 #define rson mid+1,r,rt<<1|1
 #define scand(x) scanf("%llf",&x)
 #define f(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
 #define scan(a) scanf("%d",&a)
 #define mp(a,b) make_pair((a),(b))
 #define P pair<int,int>
 #define dbg(args) cout<<#args<<":"<<args<<endl;
 #define inf 0x3f3f3f3f
 const int maxn=2e5+;
 int n,m;
 int a[maxn];
 vector<int>v;//离散化之后将内容存储在vector中
 int getid(int x)
 {
     return lower_bound(v.begin(),v.end(),x)-v.begin()+;//下标是从1开始直到n结束
 }
 struct node{
     int l,r,sum;
     //分别保存左右子树的根节点的编号以及当前结点的数值，
     //在还没插入点信息的时候子树中每个结点的值都是0，所以主席树不需要建树，是边插入边建树的
 }t[maxn*]; //适应O(nlogn)空间需求，2^40次方大小的数据是不可能的，所以可以根据习惯进行选择
 int cnt=,root[maxn];
 //权值线段树中插入的值p就是插到位置p ,由于当前结点是需要变化的，所以传入引用使他指向内存池中新的结点
 void insert(int l, int r,int pre,int& now,int p)//参数中有前面一棵树的结点以及当前树的结点，
 {
     t[++cnt]=t[pre];//从内存池中生成一个根结点并将前面树的根节点复制到其中，
     now=cnt; //使当前结点指向新生成的根结点，
     t[now].sum++;
     //要在第p位上插入，所以当前访问的结点是一定是增1的，
     //后面我们将会决定访问左子树的结点还是右子树的结点
     if(l==r)return;//到达了点信息而且前面已经在叶子结点上面更新过点信息，所以直接return
     int m=l+r>>;
     //如果左子树的区间包括了p点就向左子树递归，否则走右子树，同时也要分别移动到左子树和右子树
     if(p<=m)insert(l,m,t[pre].l,t[now].l,p);
     else insert(m+,r,t[pre].r,t[now].r,p);
 }
 int query(int l,int r,int L,int R,int k)//两个结点同步相减
 {
     if(l==r)return l;//返回的是点信息，就是离散化之后的坐标，便于之后通过vector进行索引
     int m=l+r>>;
     int tmp=t[t[R].l].sum-t[t[L].l].sum;//先获取两棵树左子树的键值之差决定向哪一棵数递归
     if(k<=tmp)return query(l,m,t[L].l,t[R].l,k);
     else return query(m+,r,t[L].r,t[R].r,k-tmp);//如果tmp<k,就查询右子树中的第k-tmp小的数，有点分治的意味
 }
 int main()
 {
     //freopen("input.txt","r",stdin);
     //freopen("output.txt","w",stdout);
     std::ios::sync_with_stdio(false);
     scan(n);
     scan(m);
     f(i,,n)
     {
         scan(a[i]);
         v.push_back(a[i]);
     }
     sort(v.begin(),v.end());
     //将数列先排序再去重放入vector中以便通过位置获取在线段树中代表的区间点信息
     v.erase(unique(v.begin(),v.end()),v.end());
     //unique函数将不重复元素放到vector的前部，
     //返回的时所有不重复元素的下一个位置，所以将后面的元素删去就可以离散的成为线段树的坐标点信息
     f(i,,n)
     {
         insert(,n,root[i-],root[i],getid(a[i]));//在第i-1棵树上建第i棵树，所以传入的是两棵树的根节点
     }
     int l,r,k;
     while(m--)
     {
         scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);
         pf("%d\n",v[query(,n,root[l-],root[r],k)-]);
         //查询[l,r]区间更新的信息，实现动态查询第k小，
         //注意vector中下标是从0开始的，而线段树中下标是从1开始的，所以错位了1，为了达到原来的元素就要减一
     }
  }

hdu2665 Kth number:

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef unsigned int ui;
 typedef long long ll;
 typedef unsigned long long ull;
 #define pf printf
 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 #define prime1 1e9+7
 #define prime2 1e9+9
 #define pi 3.14159265
 #define lson l,mid,rt<<1
 #define rson mid+1,r,rt<<1|1
 #define scand(x) scanf("%llf",&x)
 #define f(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
 #define scan(a) scanf("%d",&a)
 #define mp(a,b) make_pair((a),(b))
 #define P pair<int,int>
 #define dbg(args) cout<<#args<<":"<<args<<endl;
 #define inf 0x3f3f3f3f
 const int maxn=2e5+;
 int n,m,q;
 vector<int> v;
 int cnt,root[maxn];
 int getid(int x)
 {
     return lower_bound(v.begin(),v.end(),x)-v.begin()+;
 }
 int a[maxn];
 struct node{
     int l,r,sum;
 }t[maxn*];
 void insert(int l,int r,int pre,int &now,int pos)
 {
     t[++cnt]=t[pre];
     now=cnt;
     t[now].sum++;
     if(l==r)return;
     int m=l+r>>;
     if(pos<=m)insert(l,m,t[pre].l,t[now].l,pos);
     else insert(m+,r,t[pre].r,t[now].r,pos);
 }
 int query(int l,int r,int L,int R,int k)
 {
     if(l==r)return l;
     int tmp=t[t[R].l].sum-t[t[L].l].sum;
     int m=l+r>>;
     if(k<=tmp)return query(l,m,t[L].l,t[R].l,k);
     else return query(m+,r,t[L].r,t[R].r,k-tmp);
 }
 int main()
 {
     //freopen("input.txt","r",stdin);
     //freopen("output.txt","w",stdout);
     std::ios::sync_with_stdio(false);
     scan(q);
     f(kk,,q)
     {
         scan(n);scan(m);
         v.clear();
         cnt=;
         mem(root,);
         f(i,,n)
         {
             scan(a[i]);
             v.push_back(a[i]);
         }
         sort(v.begin(),v.end());
         v.erase(unique(v.begin(),v.end()),v.end());
         f(i,,n)insert(,n,root[i-],root[i],getid(a[i]));
         int l,r,k;
         f(tt,,m)
         {
             scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);
             pf("%d",v[query(,n,root[l-],root[r],k)-]);
             pf("\n");
         }
     }
  }