最大密集子图（01分数规划+二分+最小割）POJ3155

题意：给出一副连通图，求出一个子图令g=sigma(E)/sigma(V);

h[g]=sigma(E)-g*sigma(V)；设G是最优值

则当h[g]>0:g<G

h[g]<0,g>G;

h[g]=0：g=G；

h[g]=(U*n-Cut[S,T])/2;

当最小割Cut[S,T]最小时，h[g]最大

分析：建图方式：对于<u,v>,建立正向边和反向边容量为1

对于每个点u建立s->u容量为U，建立u->t容量为U+2*g-du(du是每个点的度)

公式推导详见：最小割模型在信息学竞赛中的应用

当h[g]>eps时增大g，否则减小g，知道h[g]=eps

#include"stdio.h"
#include"string.h"
#include"stdlib.h"
#include"algorithm"
#include"math.h"
#include"vector"
#include"queue"
#define M 222
#define inf 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-7
#define pps 1e-18
#define PI acos(-1.0)
using namespace std;
struct node
{
    int u,v,next;
    double w;
}edge[10009],e[1009];
int t,head[M],dis[M],degree[M],s[M],cnt,vis[M];
int cmp(int a,int b)
{
    return a<b;
}
double min(double a,double b)
{
    return a<b?a:b;
}
void init()
{
    t=0;
    memset(head,-1,sizeof(head));
}
void add(int u,int v,double w,double fw)
{
    edge[t].u=u;
    edge[t].v=v;
    edge[t].w=w;
    edge[t].next=head[u];
    head[u]=t++;

    edge[t].u=v;
    edge[t].v=u;
    edge[t].w=fw;
    edge[t].next=head[v];
    head[v]=t++;
}
int bfs(int S,int T)
{
    queue<int>q;
    memset(dis,-1,sizeof(dis));
    q.push(S);
    dis[S]=0;
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
        {
            int v=edge[i].v;
            if(edge[i].w>pps&&dis[v]==-1)
            {
                dis[v]=dis[u]+1;
                if(v==T)
                    return 1;
                q.push(v);
            }
        }
    }
    return 0;
}
double dfs(int cur,double a,int T)
{
    if(cur==T)return a;
    for(int i=head[cur];~i;i=edge[i].next)
    {
        int v=edge[i].v;
        if(edge[i].w>pps&&dis[v]==dis[cur]+1)
        {
            double tt=dfs(v,min(a,edge[i].w),T);
            if(tt)
            {
                edge[i].w-=tt;
                edge[i^1].w+=tt;
                return tt;
            }
        }
    }
    return 0;
}
double Dinic(int S,int T)
{
    double ans=0;
    while(bfs(S,T))
    {
        while(double tt=dfs(S,inf,T))
            ans+=tt;
    }
    return ans;
}
void Creat(int n,int m,double g)
{
    init();
    int i;
    for(i=1;i<=m;i++)
        add(e[i].u,e[i].v,1,1);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        add(0,i,m*1.0,0);
        add(i,n+1,m+2*g-degree[i],0);
    }
}
void dfs1(int u)
{
    vis[u]=1;
    s[cnt++]=u;
    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
    {
        int v=edge[i].v;
        if(edge[i].w&&!vis[v])
            dfs1(v);
    }
}
int main()
{
    int n,m,i;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=-1)
    {
        if(m==0)
        {
            printf("1\n1\n");
            continue;
        }
        memset(degree,0,sizeof(degree));
        for(i=1;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d%d",&e[i].u,&e[i].v);
            degree[e[i].u]++;
            degree[e[i].v]++;
        }
        double l=1.0/n,r=m*1.0,mid,g;
        while(r-l>1.0/n/n)//论文以证明误差精度不会超过1/n/n
        {
            mid=(l+r)/2;
            Creat(n,m,mid);//重新构图
            double temp=(m*n*1.0-Dinic(0,n+1))/2.0;
            if(temp>eps)
            {
                l=mid;
                g=mid;
            }
            else r=mid;
        }
        Creat(n,m,g);//重新跑一边最大流，二分中最后一次跑的不应定是最优解
        Dinic(0,n+1);
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        cnt=0;
        dfs1(0);
        sort(s,s+cnt,cmp);
        printf("%d\n",cnt-1);
        for(i=1;i<cnt;i++)
            printf("%d\n",s[i]);
    }
}