【BZOJ3451】Tyvj1953 Normal - 点分治+FFT

题目来源：NOI2019模拟测试赛（七）

非原题面，题意有略微区别

题意：

吐槽：

心态崩了。

好不容易场上想出一题正解，写了三个小时结果写了个假的点分治，卡成$O(n^2)$

我退役吧。

题解：

原题是求随机树分治的期望深度和，题意相同。

对于一个点$x$，考虑点$y$是否能作为它在点分树上的祖先节点，显然当且仅当$y$在$x$到$y$的路径中第一个被选为分治中心时会对$x$产生1的贡献；

由于路径上所有点被选到的概率都是相等的，所以此时的期望就是$\frac{1}{dis(x,y)}$；

那么总的期望就是$\sum\limits_{x=1}^{n}\sum\limits_{y=1}^{n}\frac{1}{dis(x,y)}$；

在这里写个暴力即可爆踩我的假点分治；

考虑统计每种长度的路径条数，可以用点分治做，并且在点分树里合并时子树的期望是一个卷积的形式，因此可以用FFT来加速；

于是我就快乐的写了个点分治+FFT，获得了60分的好成绩；

为什么？参考这篇博客的证明，我最初的写法就是其中的第一种写法，搜完一个子树就和已经搜过的合并，这样做的话FFT的长度会是$子树中最大深度\times 根节点儿子个数=O(n^2)$的，正确的写法应该搜完再一起合并，或者像里面说的第二种方法一样直接搜当前子树，更新答案然后搜重心的每个儿子的子树，减去不合法的路径，这样子FFT的长度才是$O(n)$的。

代码：

假点分治（60pts）：

 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<queue>
 #define inf 2147483647
 #define eps 1e-9
 #define mod 1000000007
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 typedef double db;
 const db pi=acos(-1.0);

 struct edge{
     int v,next;
 }a[];
 int n,u,v,S,rt,mxd,bit,bitnum,tot=,cnt=,ans=,jc[],inv[],anss[],tp[],num[],s[],rev[],head[],mx[],siz[],dep[];
 bool used[];
 struct cp{
     db a,b;
     cp(){}
     cp(db _a,db _b){
         a=_a,b=_b;
     }
     friend cp operator +(cp a,cp b){return cp(a.a+b.a,a.b+b.b);}
     friend cp operator -(cp a,cp b){return cp(a.a-b.a,a.b-b.b);}
     friend cp operator *(cp a,cp b){return cp(a.a*b.a-a.b*b.b,a.a*b.b+a.b*b.a);}
     friend cp operator *(cp a,db b){return cp(a.a*b,a.b*b);}
     friend cp operator /(cp a,db b){return cp(a.a/b,a.b/b);}
 }A[],B[],W[][];
 void _(){
     for(int i=;i<=(<<);i<<=){
         W[i][]=cp(cos(pi/i),sin(pi/i));
         W[i][]=cp(cos(pi/i),-sin(pi/i));
     }
 }
 void fft(cp *s,int op){
     for(int i=;i<bit;i++)if(i<rev[i])swap(s[i],s[rev[i]]);
     for(int i=;i<bit;i<<=){
         //cp w(cos(pi/i),op*sin(pi/i));
         cp w=W[i][op==-];
         for(int p=i<<,j=;j<bit;j+=p){
             cp wk(,);
             for(int k=j;k<i+j;k++,wk=wk*w){
                 cp x=s[k],y=wk*s[k+i];
                 s[k]=x+y;
                 s[k+i]=x-y;
             }
         }
     }
     if(op==-){
         for(int i=;i<bit;i++){
             s[i]=s[i]/(db)bit;
         }
     }
 }
 void add(int u,int v){
     a[++tot].v=v;
     a[tot].next=head[u];
     head[u]=tot;
 }
 void mul(int *ret,int *a,int *b,int n){
     for(bit=,bitnum=;bit<=n*;bit<<=)bitnum++;
     for(int i=;i<=bit;i++){
         rev[i]=(rev[i>>]>>)|((i&)<<(bitnum-));
     }
     for(int i=;i<bit;i++){
         A[i]=cp((db)a[i],);
         B[i]=cp(,);
     }
     for(int i=;i<=cnt;i++){
         a[b[i]]++;
         B[b[i]].a+=;
     }
     fft(A,);
     fft(B,);
     for(int i=;i<bit;i++)A[i]=A[i]*B[i];
     fft(A,-);
     for(int i=;i<bit;i++)ret[i]=(int)(A[i].a+0.5);
 }
 void getrt(int u,int fa){
     mx[u]=;
     siz[u]=;
     for(int tmp=head[u];tmp!=-;tmp=a[tmp].next){
         int v=a[tmp].v;
         if(!used[v]&&v!=fa){
             getrt(v,u);
             siz[u]+=siz[v];
             mx[u]=max(mx[u],siz[v]);
         }
     }
     mx[u]=max(mx[u],S-mx[u]);
     if(mx[u]<mx[rt])rt=u;
 }
 void getdep(int u,int fa,int dpt){
     mxd=max(mxd,dpt);
     s[++cnt]=dpt;
     for(int tmp=head[u];tmp!=-;tmp=a[tmp].next){
         int v=a[tmp].v;
         if(!used[v]&&v!=fa){
             getdep(v,u,dpt+);
         }
     }
 }
 void divide(int u){
     used[u]=true;
     mxd=;
     for(int tmp=head[u];tmp!=-;tmp=a[tmp].next){
         int v=a[tmp].v;
         if(!used[v]){
             cnt=;
             getdep(v,u,);
             mul(tp,num,s,mxd);
             for(int i=;i<bit;i++)anss[i]+=tp[i];
         }
     }
     for(int i=;i<=mxd;i++){
         anss[i]+=num[i];
         num[i]=;
     }
     for(int tmp=head[u];tmp!=-;tmp=a[tmp].next){
         int v=a[tmp].v;
         if(!used[v]){
             S=siz[v];
             rt=;
             getrt(v,);
             divide(rt);
         }
     }
 }
 int main(){
     memset(head,-,sizeof(head));
     _();
     scanf("%d",&n);
     jc[]=inv[]=inv[]=;
     for(int i=;i<=n+;i++)inv[i]=(ll)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
     for(int i=;i<=n+;i++)jc[i]=(ll)jc[i-]*i%mod;
     for(int i=;i<n;i++){
         scanf("%d%d",&u,&v);
         add(u,v);
         add(v,u);
     }
     S=n;
     mx[rt=]=;
     getrt(,-);
     divide(rt);
     ans=n;
     for(int i=;i<=n;i++){
         ans=(ans+(ll)anss[i]*inv[i+]*%mod)%mod;
     }
     printf("%lld",(ll)ans*jc[n]%mod);
     return ;
 }

AC代码（100pts）：

 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<queue>
 #define inf 2147483647
 #define eps 1e-9
 #define mod 1000000007
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 typedef double db;
 const db pi=acos(-1.0);

 struct edge{
     int v,next;
 }a[];
 int n,u,v,S,rt,mxd,bit,bitnum,tot=,cnt=,ans=,jc[],inv[],anss[],tp[],num[],rev[],head[],mx[],siz[],dep[],dps[];
 bool used[];
 struct cp{
     db a,b;
     cp(){}
     cp(db _a,db _b){
         a=_a,b=_b;
     }
     friend cp operator +(cp a,cp b){return cp(a.a+b.a,a.b+b.b);}
     friend cp operator -(cp a,cp b){return cp(a.a-b.a,a.b-b.b);}
     friend cp operator *(cp a,cp b){return cp(a.a*b.a-a.b*b.b,a.a*b.b+a.b*b.a);}
     friend cp operator *(cp a,db b){return cp(a.a*b,a.b*b);}
     friend cp operator /(cp a,db b){return cp(a.a/b,a.b/b);}
 }A[],B[],W[][];
 void _(){
     for(int i=;i<=(<<);i<<=){
         W[i][]=cp(cos(pi/i),sin(pi/i));
         W[i][]=cp(cos(pi/i),-sin(pi/i));
     }
 }
 void fft(cp *s,int op){
     for(int i=;i<bit;i++)if(i<rev[i])swap(s[i],s[rev[i]]);
     for(int i=;i<bit;i<<=){
         //cp w(cos(pi/i),op*sin(pi/i));
         cp w=W[i][op==-];
         for(int p=i<<,j=;j<bit;j+=p){
             cp wk(,);
             for(int k=j;k<i+j;k++,wk=wk*w){
                 cp x=s[k],y=wk*s[k+i];
                 s[k]=x+y;
                 s[k+i]=x-y;
             }
         }
     }
     if(op==-){
         for(int i=;i<bit;i++){
             s[i]=s[i]/(db)bit;
         }
     }
 }
 void add(int u,int v){
     a[++tot].v=v;
     a[tot].next=head[u];
     head[u]=tot;
 }
 void mul(int *ret,int *a,int *b,int n){
     for(bit=,bitnum=;bit<=n*;bit<<=)bitnum++;
     for(int i=;i<bit;i++){
         rev[i]=(rev[i>>]>>)|((i&)<<(bitnum-));
     }
     for(int i=;i<bit;i++){
         A[i]=cp((db)a[i],);
         B[i]=cp((db)b[i],);
     }
     fft(A,);
     fft(B,);
     for(int i=;i<bit;i++)A[i]=A[i]*B[i];
     fft(A,-);
     for(int i=;i<bit;i++)ret[i]=(int)(A[i].a+0.5);
 }
 void getrt(int u,int fa){
     mx[u]=;
     siz[u]=;
     for(int tmp=head[u];tmp!=-;tmp=a[tmp].next){
         int v=a[tmp].v;
         if(!used[v]&&v!=fa){
             getrt(v,u);
             siz[u]+=siz[v];
             mx[u]=max(mx[u],siz[v]);
         }
     }
     mx[u]=max(mx[u],S-mx[u]);
     if(mx[u]<mx[rt])rt=u;
 }
 void getdep(int u,int fa,int dpt){
     mxd=max(mxd,dpt);
     dps[dpt]++;
     for(int tmp=head[u];tmp!=-;tmp=a[tmp].next){
         int v=a[tmp].v;
         if(!used[v]&&v!=fa){
             getdep(v,u,dpt+);
         }
     }
 }
 void divide(int u){
     used[u]=true;
     num[]=;
     for(int tmp=head[u];tmp!=-;tmp=a[tmp].next){
         int v=a[tmp].v;
         if(!used[v]){
             getdep(v,u,);
             for(int i=;i<=mxd;i++){
                 num[i]+=dps[i];
                 tp[i]=dps[i];
                 dps[i]=;
             }
             cnt=max(cnt,mxd);
             mul(tp,tp,tp,mxd);
             for(int i=;i<=mxd*;i++){
                 anss[i]-=tp[i];
                 tp[i]=;
             }
             mxd=;
         }
     }
     for(int i=;i<=cnt;i++){
         tp[i]=num[i];
         num[i]=;
     }
     mul(tp,tp,tp,cnt);
     for(int i=;i<=cnt*;i++){
         anss[i]+=tp[i];
         tp[i]=;
     }
     cnt=;
     for(int tmp=head[u];tmp!=-;tmp=a[tmp].next){
         int v=a[tmp].v;
         if(!used[v]){
             S=siz[v];
             rt=;
             getrt(v,);
             divide(rt);
         }
     }
 }
 int main(){
     memset(head,-,sizeof(head));
     _();
     scanf("%d",&n);
     jc[]=inv[]=inv[]=;
     for(int i=;i<=n+;i++)inv[i]=(ll)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
     for(int i=;i<=n+;i++)jc[i]=(ll)jc[i-]*i%mod;
     for(int i=;i<n;i++){
         scanf("%d%d",&u,&v);
         add(u,v);
         add(v,u);
     }
     S=n;
     mx[rt=]=;
     getrt(,-);
     divide(rt);
     ans=n;
     for(int i=;i<=n;i++){
         ans=(ans+(ll)anss[i]*inv[i+]%mod)%mod;
     }
     printf("%lld",(ll)ans*jc[n]%mod);
     return ;
 }