【t094】区间运算

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【问题描述】

区间运算是数学的一个领域。在区间运算中，常量和变量并不表示为一个单独、精确的值，而是表示为一个有着上界和下界的区间

或范围。在普通的运算中，一个数量可以表示为数轴上的一个点；而在区间运算中，一个数量表示数轴上的一段，例如[3,5]表

示数轴上从3到5的一段。当精确的数值表示为区间时，上界与下界是相同的，如5表示为区间即[5,5]。

两个区间的运算，是指一个区间中的每个点与另一个区间中的每个点所做的运算，通过运算所得的所有点的集合即为运算的结

果。例如，[3,5]+[-10,1]=[-7,6]。你的任务是写一个可以根据单行表达式进行取反数、加、减、乘、除等基本的区间运算的

程序。下面是一些运算的例子：

取相反数 -[-3,5]=[-5,3]

加法 [3,5]+[-10,1]=[-7,6]

减法 [3,5]-[-10,1]=[2,15]

乘法 [3,5]*[-10,1]=[-50,5]

除法 [3,5]/[-10,-0.1]=[-50,-0.3]

【输入格式】

程序的输入包含一行或多行区间运算的中缀表达式，每个区间都表示为[min,max]，表 达式中包括括号、负号(-)、加号(+)、减号

(-)、乘号(*)和除号(/)，括号可能是嵌套的。每一行中都有可能有空格，但空格不会在表示区间的括号“[min,max]”中间或

负号后出现。程序不需要处理科学记数法(如2E6=2000000)。每一行均不超过 80 个字符。运算采用标准的优先级规则。下面按

优先级递减的顺序给出各个运算符：

() 括号

- 取相反数

* / 乘法和除法，同级运算按从左往右的顺序

+ - 加法和减法，同级运算按从左往右的顺序

【输出格式】

对于输入的每一行，都相应地输出一行，输出的内容就是区间运算的最后结果，用[min,max]的形式表示，其中min不能大于max，

输出结果都精确到小数点后第三位，区间形式中间不能有空格。但如果表达式里面有除法，而且作为除数的区间包含0，则输出

“Division by zero”即可。

Sample Input

-[-3,5]
[3,5]+[-10,1]
[3,5]-[-10,1]
[3,5]*[-10,1]
(([3,5]/[-10,-0.1])/-[2,2])

Sample Output

[-5.000,3.000]
[-7.000,6.000]
[2.000,15.000]
[-50.000,5.000]
[0.150,25.000]

【题解】

对于进行的运算。

设a=[x1,y1],b=[x2,y2]

a+b = [x1+x2,y1+y2]

a-b = [x1-y2,y1-x2];

d1 = x1 m x2,d2 = x1 m y2,d3 = y1 m x2,d4 = y1 m y2;

a*b = [min(d1..d4,m=*),max(d1..d4,m=*)];

a/b = [min(d1..d4,m=/),max(d1..d4,m=/)];

对于取反。一开始的时候先判断出哪些是取反符号(很容易就能想到要怎么判断的。)

然后在取反符号前加"([0,0]",然后在取反符号后面恰当的位置加上")"。就是把取反运算变成一个减法

运算。

然后利用二分的方法来求表达式。

具体的。

先找到一个表达式里面运算的优先级别最小的运算符。

然后递归这个运算符左边的表达式。递归右边的表达式。

如果当前处理的表达式全为区间。则返回这个区间的端点。存在struct结构体中。

这个递归也是一个struct 结构体。所以可以直接返回。

同一优先级别的操作符。往后找。这样可以保证同一优先级。从左到右运算的顺序。

【代码】
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <string>

using namespace std;

struct qujian //结构体。存区间的端点
{
	double l,r;
};

bool chu0 = false; //用于判断是否除0，因为不能直接结束程序。所以有点麻烦。 

void check(string & s) //把多余的空格去掉
{
	int l = s.size()-1;
	for (int i = 1;i <= l;i++)
		if (s[i] == ' ')
			s[i] = '$'; //先变成一个标识符
	string ss = " ";
	for (int i = 1;i <= l;i++) //然后把那些不是标识符的加到ss这个temp变量上
		if (s[i]!='$')
			ss+=s[i];
	s = ss;	 //最后把temp变量赋值给s ,完成去除空格的任务。
}

bool reducebracket(string &s) //去掉两边的括号，如( (..) + (..))
{//则变成(..)+(..)  注意string 要加& 不然s不会改变
	int l = s.size()-1; //因为在前面加了一个空格，所以从1开始数起
	if (s[1] != '(' || s[l] != ')') //如果最左和最右不是配对的括号则不可能
		return false; //返回不要去括号
	int b = 0; //因为可能出现(xxx) + (xxx)的情况。（两边是配对的括号，但不要去）
	for (int i = 2;i <= l-1;i++) //在2到l-1的范围内看括号是否匹配。
		{
			if (s[i] == '(')
				b++;
			if (s[i] == ')')
				b--;
			if (b < 0)
				return false; //如果不匹配则返回不去除。这可以考虑到上述情况
		}
	s = s.erase(l,1); //去掉两边的括号
	s = s.erase(1,1);
	return true; //返回可以再尝试去括号
}

char cmp(char x,char y) //比较x操作符和y操作符的优先顺序
{
	if (x == '&') //如果是初值，则一定更新
		return '>';
	if (x == '*' || x == '/') //如果是同一级别的要尽量往后(同一级从左到右)
		return '>'; //其他的按照小学知识就能知道优先顺序了。
	if ( (x == '+' || x == '-') && (y == '+' || y == '-'))
		return '>';  //在找的时候会一层层去掉括号，所以不要管括号
	return '<';
}

int find (string s) //找s里面运算符级别最小的运算符位置
{
	char now = '&'; //置初值
	int l = s.size()-1;
	int i = 1,k;
	while (i <= l)
		{
			if (s[i] == '(') //如果是括号就要跳过。
				{
					int b = 0;
					do
					{
						if (s[i] == '(')
							b++;
						if (s[i] == ')')
							b--;
						i++; //进行括号的匹配
					}
					while (b!=0);
				}
				else
					if ((s[i] == '*' || s[i] == '/' || s[i] == '+')
							||
								(s[i] == '-' && i > 1 &&
									(s[i-1] ==']' || s[i-1] == ')')
								)) //这一大串都是判断这个是不是操作符
						{
							if (cmp(now,s[i]) == '>') //如果这个操作符更小
								{ //则更新
									now = s[i];
									k = i;
								}
							i++; //无论如何都要递增i
						}
							else
								i++;
		}
	return k;
}

double best_max(double x,double y,double z,double w) //返回几个数中最大的数
{
	double m = x;
	if (y > m)
		m = y;
	if (z > m)
		m = z;
	if (w > m)
		m = w;
	return m;
}

double best_min(double x,double y,double z,double w) //返回几个数中最小的数
{
	double m = x;
	if (y < m)
		m = y;
	if (z < m)
		m = z;
	if (w < m)
		m = w;
	return m;
}

qujian reduce(string s) //这是递归的主程序
{
	qujian temp;
	if (chu0) //如果除0了就随便返回一个结构体。
		return temp;
	if (s == " ") //如果为空则返回0 我们之前有加一个空格在头部
		{
			temp.l = 0;
			temp.r = 0;
			return temp;
		}
	bool judge = false; //判断这个字符串有没有操作符
	int l = s.size()-1;
	for (int i = 1;i <= l;i++) //如果有操作符就返回true
		if (s[i] == '*' || s[i] == '/' || s[i] == '+')
			{
				judge = true;
				break;
			}
			else //减号的判断要小心出现负数的情况。这会麻烦点。
				if (s[i] == '-' && i > 1 && (s[i-1] ==']' ||
						s[i-1] == ')'))
							{
								judge = true;
								break;
							}
	if (!judge) //如果没有出现操作符。则这是一个区间
		{
			int p1 = s.find('[',0),p2 = s.find(',',0);
			string s1 = s.substr(p1+1,p2-p1-1);
			int p3 = s.find(']',0);
			string s2 = s.substr(p2+1,p3-p2-1); //把这个区间的a,b取出来
			temp.l = atof(s1.c_str());
			temp.r = atof(s2.c_str()); //转成double类型
			if (temp.l > temp.r) //会出现a > b的情况。很恶心。。
				{
					double te;
					te = temp.l;
					temp.l = temp.r;
					temp.r = te;
				}
			return temp;
		}
	bool flag = reducebracket(s); //如果能去除两边多余括号就去除
	while (flag)
		flag = reducebracket(s);
	int k = find(s); //找到运算符的位置。
	string sl = s.substr(0,k); //截取运算符的左边和右边
	char key = s[k]; //取出操作符
	s = s.erase(1,k);//删掉左边,保留空格。所以从1开始
	string sr = s; //右边就直接等于删掉后剩余的东西
	qujian temp1 = reduce(sl),temp2= reduce(sr);//递归左边和右边
	if (chu0) //如果除0了就随便返回个值。（没用的）
		return temp1;
	qujian temp3;
	switch (key) //根据我在题解写的规则进行运算，注意判断除0
		{
			case '+':
				temp.l=temp1.l+temp2.l,temp.r=temp1.r+temp2.r;
				break;
			case '-':
				temp.l=temp1.l-temp2.r,temp.r=temp1.r-temp2.l;
				break;
			case '*':
				{
					temp.r = best_max(temp1.l*temp2.l,temp1.l*temp2.r,
									  temp1.r*temp2.l,temp1.r*temp2.r);
					temp.l = best_min(temp1.l*temp2.l,temp1.l*temp2.r,
									  temp1.r*temp2.l,temp1.r*temp2.r);
				}
				break;
			case '/':
				{
					if (temp2.l <=0 && temp2.r >=0) //如果除0，则退出这层递归。
						{
							 chu0 = true; //标记除0信息
							 return temp2;
						}
					temp.r = best_max(temp1.l/temp2.l,temp1.l/temp2.r,
									  temp1.r/temp2.l,temp1.r/temp2.r);
					temp.l = best_min(temp1.l/temp2.l,temp1.l/temp2.r,
									  temp1.r/temp2.l,temp1.r/temp2.r);
				}
				break;
		}
	return temp;
}

void input_data()
{
	string ss;
	while ( getline(cin,ss)) //有多行输入
		{
			string s = " +"; //在开头加一个加号。这样可以防止一开始就有取反符
			s += ss; //加号左边是空。我们会默认返回0
			check(s); //看看有没有多余的空格
			chu0 = false; //是否除0要重置
			int ll = s.size()-1;
			int i = 1;
			while (i <= ll-1)
				{ //这里是取反符的改变方法
					if (i > 1 && s[i] == '-' && s[i-1]!=']' && (s[i+1] > '9' || s[i+1] <'0'))
						{ //判断是否为取反符的方法
							s = s.insert(i,"([0,0]");//把它变成减法
							i+=6; //i指向'-'
							i++;
							int j = i;
							if (s[i] == '(') //如果后面是括号则要跳过括号内的内容
								{
									int b = 0;
									do
									{
										if (s[i] == '(') b++;
										if (s[i] == ')') b--;
										i++;
									}
									while (b!=0);
									s = s.insert(i,")");//加一个右括号
									i = j;//返回之前的位置。因为括号里可能也有取反符
								}
							if (s[i] == '[') //如果是个区间。只要到区间右边加括号就好
								{
									while (s[i] != ']') i++;
									i++;
									s = s.insert(i,")");
								}

							ll = s.size();//要重新获取字符长度
						}
					i++; //递增指针
				}
			qujian l = reduce(s); //获取答案区间
			if (chu0) //是否除0做出判断
				printf("Division by zero\n");
					else
						printf("[%.3lf,%.3lf]\n",l.l,l.r);	

		}
}

int main()
{
	input_data();
	return 0;
}