最短路算法详解（Dijkstra/SPFA/Floyd）

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一、Dijkstra

Dijkstra单源最短路算法，即计算从起点出发到每个点的最短路。所以Dijkstra常常作为其他算法的预处理。

使用邻接矩阵的时间复杂度为O(n^2),用优先队列的复杂度为O((m+n)logn)近似为O(mlogn)

(一)  过程

每次选择一个未访问过的到已经访问过（标记为Known）的所有点的集合的最短边，并用这个点进行更新，过程如下：

Dv为最短路，而Pv为前面的顶点。

1.     初始

V	Known	Dv	Pv
V1	F	0	0
V2	F	∞	0
V3	F	∞	0
V4	F	∞	0
V5	F	∞	0
V6	F	∞	0
V7	F	∞	0

2.     在v1被标记为已知后的表

V	Known	Dv	Pv
V1	T	0	0
V2	F	2	V1
V3	F	∞	0
V4	F	1	V1
V5	F	∞	0
V6	F	∞	0
V7	F	∞	0

3.     下一步选取v4并且标记为known，顶点v3,v5,v6,v7是邻接的顶点，而他们实际上都需要调整。如表所示:

V	Known	Dv	Pv
V1	T	0	0
V2	F	2	V1
V3	F	3	V4
V4	T	1	V1
V5	F	3	V4
V6	F	9	V4
V7	F	5	V4

4.     接下来选取v2,v4是邻接点，但已经是known的，不需要调整，v5是邻接的点但不做调整，因为经过v2的值为2+10=12而长为3的路径已经是已知的。

V	Known	Dv	Pv
V1	T	0	0
V2	T	2	V1
V3	F	3	V4
V4	T	1	V1
V5	F	3	V4
V6	F	9	V4
V7	F	5	V4

5.     接下来选取v5，值为3，v7 3+6>5不需调整，然后选取v3，对v6的距离下调到3+5=8

V	Known	Dv	Pv
V1	T	0	0
V2	T	2	V1
V3	T	3	V4
V4	T	1	V1
V5	T	3	V4
V6	F	8	V3
V7	F	5	V4

6.     再选下一个顶点是v7，v6变为5+1=6

V	Known	Dv	Pv
V1	T	0	0
V2	T	2	V1
V3	T	3	V4
V4	T	1	V1
V5	T	3	V4
V6	F	6	V7
V7	T	5	V4

7.     最后选取v6

V	Known	Dv	Pv
V1	T	0	0
V2	T	2	V1
V3	T	3	V4
V4	T	1	V1
V5	T	3	V4
V6	T	6	V7
V7	T	5	V4

(二)  局限性

Dijkstra没办法解决负边权的最短路径，如图

运行完该算法后，从顶点1到顶点3的最短路径为1,3，其长度为1，而实际上最短路径为1,2,3，其长度为0.（因为过程中先选择v3，v3被标记为已知，今后不再更新）

(三) 算法实现。

1．普通的邻接表 以（HDU 1874 畅通工程续 SPFA || dijkstra）为例

用vis作为上面标记的known，dis记录最短距离（记得初始化为一个很大的数）。

void dijkstra(int s)
{
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	int cur=s;
	dis[cur]=0;
	vis[cur]=1;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		for(int j=0;j<n;j++)
			if(!vis[j] && dis[cur] + map[cur][j] < dis[j])   //未被标记且比已知的短，可更新
				dis[j]=dis[cur] + map[cur][j] ;

		int mini=INF;
		for(int j=0;j<n;j++)
			if(!vis[j] && dis[j] < mini)    //选择下一次到已知顶点最短的点。
				mini=dis[cur=j];
		vis[cur]=true;
	}
}

2.邻接表+优先队列。

要重载个比较函数.

struct point
{
	int val,id;
	point(int id,int val):id(id),val(val){}
	bool operator <(const point &x)const{
		return val>x.val;
	}
};
void dijkstra(int s)
{
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	for(int i=0;i<n;i++)
		dis[i]=INF;	

	priority_queue<point> q;
	q.push(point(s,0));
	dis[s]=0;
	while(!q.empty())
	{
		int cur=q.top().id;
		q.pop();
		if(vis[cur]) continue;
		vis[cur]=true;
		for(int i=head[cur];i!=-1;i=e[i].next)
		{
			int id=e[i].to;
			if(!vis[id] && dis[cur]+e[i].val < dis[id])
			{
				dis[id]=dis[cur]+e[i].val;
				q.push(point(id,dis[id]));
			}
		}
	}
}

二、SPFA（bellman-ford）

SPFA是bellman-ford的改进算法(队列实现），效率也更高，故直接介绍SPFA。

相比于Dijkstra，SPFA可以计算带负环的回路。

邻接表的复杂度为：O(kE)E为边数，k一般为2或3

（一）原理过程：

bellman-ford算法的基本思想是，对图中除了源顶点s外的任意顶点u，依次构造从s到u的最短路径长度序列dist[u],dis2[u]……dis(n-1)[u]，其中n是图G的顶点数，dis1[u]是从s到u的只经过1条边的最短路径长度，dis2[u]是从s到u的最多经过G中2条边的最短路径长度……当图G中没有从源可达的负权图时，从s到u的最短路径上最多有n-1条边。因此，

dist(n-1)[u]就是从s到u的最短路径长度，显然，若从源s到u的边长为e(s,u)，则dis1[u]=e(s,u).对于k>1，dis（k)[u]满足如下递归式，dis(k)[u]=min{dis(k-1)[v]+e(v,u)}.bellman-ford最短路径就是按照这个递归式计算最短路的。

SPFA的实现如下：用数组dis记录更新后的状态，cnt记录更新的次数，队列q记录更新过的顶点，算法依次从q中取出待更新的顶点v,按照dis(k)[u]的递归式计算。在计算过程中，一旦发现顶点K有cnt[k]>n，说明有一个从顶点K出发的负权圈，此时没有最短路，应终止算法。否则，队列为空的时候，算法得到G的各顶点的最短路径长度。

（二）实现：

1.邻接矩阵的SPFA以（HDU 1874 畅通工程续 SPFA || dijkstra）为例

void SPFA(int s)
{
    for(int i=0;i<n;i++)
        dis[i]=INF;  

    bool vis[MAXN]={0};  

    vis[s]=true;
    dis[s]=0;  

    queue<int> q;
    q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        int cur=q.front();
        q.pop();
        vis[cur]=false;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            if(dis[cur] + map[cur][i] < dis[i])
            {
                dis[i]=dis[cur] + map[cur][i];
                if(!vis[i])
                {
                    q.push(i);
                    vis[i]=true;
                }
            }
        }
    }
}  

2.邻接表的SPFA（推荐）以（HDU 1874 畅通工程续 SPFA || dijkstra）为例

void spfa(int s)
{
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	for(int i=0;i<n;i++)
		dis[i]=INF;	

	queue<int> q;
	q.push(s);
	vis[s]=true;
	dis[s]=0;
	while(!q.empty())
	{
		int cur=q.front();
		q.pop();
		vis[cur]=false;
		for(int i=head[cur];i!=-1;i=e[i].next)
		{
			int id=e[i].to;
			if(dis[id] > dis[cur]+e[i].val)
			{
				dis[id] = dis[cur] + e[i].val;
				if(!vis[id])
				{
					vis[id]=true;
					q.push(id);
				}
			}
		}
	}
}

3.上面的两个都没有对负圈的判断，因为题目的限制就是正的。判断负环代码如下：以（ZOJ 2770 Burn the Linked Camp 差分约束）为例

bool spfa()
{
    for(int i=0;i<=n;i++)
        dis[i]=INF;  

    bool vis[MAXN]={0};
    int cnt[MAXN]={0};
    queue<int> q;
    dis[0]=0;
    vis[0]=true;
    cnt[0]=1;
    q.push(0);  

    while(!q.empty())
    {
        int cur=q.front();
        q.pop();
        vis[cur]=false;  

        for(int i=head[cur];i!=-1;i=e[i].next)
        {
            int id=e[i].to;
            if(dis[cur] + e[i].val > dis[id])
            {
                dis[id]=dis[cur]+e[i].val;
                if(!vis[id])
                {
                    cnt[id]++;
                    if(cnt[cur] > n)
                        return false;
                    vis[id]=true;
                    q.push(id);
                }
            }
        }
    }
    return true;
} 

（三）：优化

SLF（Small Label First）是指在入队时如果当前点的dist值小于队首， 则插入到队首， 否则插入到队尾。

LLL不太常用，我也没研究。

（四）应用：

眼见的同学应该发现了，上面的差分约束四个字，是的SPFA可以很好的实现差分约束系统。

差分约束系统详解http://blog.csdn.net/murmured/article/details/19285713

三、floyd

全称Floyd-Warshall。记得离散数学里面有Warshall算法，用来计算传递闭包。而数据结构每次都简称floyd，当时就觉得两个都差不多，有神马关系，后来google一下发现是同一个算法。。。。改个名字出来走江湖啊！！！！！

这个算法用于求所有点对的最短距离。比调用n次dijkstra的优点在于代码简单。

时间复杂度为O(n^3)

（一）原理过程：

这是一个dp（动态规划的过程）

dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);

即从顶点i到j且经过顶点k的最短路径长度。

（二）实现：

以（HDU 1874 畅通工程续 SPFA || dijkstra）为例

void floyd()
{
    for(int k=0;k<n;k++)
		for(int i=0;i<n;i++)
			for(int j=0;j<n;j++)
				dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
}

四、其他

如走迷宫经常用的BFS，以一个点出发，向外扩散。

如：

UVA 10047 - TheMonocycle BFS

HDU 1728逃离迷宫 BFS

POJ3984迷宫问题 BFS

UVA 11624 - Fire!图BFS

除了上面的

HDU 1874畅通工程续 SPFA || dijkstra||floyd

还有：

UVA11280 - Flying to Fredericton SPFA变形

UVA11090 - Going in Cycle!! SPFA

UVA10917 Walk Through the Forest SPFA

POJ 3259Wormholes邻接表的SPFA判断负权回路

POJ 1932XYZZY (ZOJ 1935)SPFA+floyd

UVA11374 Airport Express SPFA||dijkstra

UVA11367 - Full Tank? dijkstra+DP

POJ 1511Invitation Cards (ZOJ 2008)使用优先队列的dijkstra

POJ 3268Silver Cow Party (Dijkstra~)

POJ 2387Til the Cows Come Home (Dijkstra)

UVA10603 - Fill BFS~