2018.09.05 bzoj1010: [HNOI2008]玩具装箱toy（斜率优化dp)

传送门

一道经典的斜率优化dp。

推式子ing。。。

令f[i]表示装前i个玩具的最优代价。

然后用老套路。

我们只考虑把第j+1" role="presentation" style="position: relative;">j+1j+1~i" role="presentation" style="position: relative;">ii个玩具分成一组的情况，之前的1~j个自行按最优情况分组。

显然有f[i]=f[j]+(sum[i]−sum[j]+L)2" role="presentation" style="position: relative;">f[i]=f[j]+(sum[i]−sum[j]+L)2f[i]=f[j]+(sum[i]−sum[j]+L)2

那么对于决策j,k。

谁对i的贡献更优呢？

我们假设j更优。

显然有

f[i]=f[j]+(sum[i]−sum[j]+L)2&lt;f[i]=f[k]+(sum[i]−sum[k]+L)2" role="presentation" style="position: relative;">f[i]=f[j]+(sum[i]−sum[j]+L)2<f[i]=f[k]+(sum[i]−sum[k]+L)2f[i]=f[j]+(sum[i]−sum[j]+L)2<f[i]=f[k]+(sum[i]−sum[k]+L)2

=>f[j]+sum[j]2−2sum[i]∗sum[j]&lt;f[k]+sum[k]2−2sum[i]∗sum[k]" role="presentation" style="position: relative;">f[j]+sum[j]2−2sum[i]∗sum[j]<f[k]+sum[k]2−2sum[i]∗sum[k]f[j]+sum[j]2−2sum[i]∗sum[j]<f[k]+sum[k]2−2sum[i]∗sum[k]

设T[t]=f[t]+sum[t]2" role="presentation" style="position: relative;">T[t]=f[t]+sum[t]2T[t]=f[t]+sum[t]2

=>(T[j]−T[k])/(sum[j]−sum[k])&lt;2sum[i]" role="presentation" style="position: relative;">(T[j]−T[k])/(sum[j]−sum[k])<2sum[i](T[j]−T[k])/(sum[j]−sum[k])<2sum[i]

这不就是斜率优化么？

用队列维护一下就行了。

继续分析会发现应该维护单调递增的斜率，也就是维护一个下凸壳。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 50005
using namespace std;
inline ll read(){
    ll ans=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))ch=getchar();
    while(isdigit(ch))ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return ans;
}
int n,hd,tl,q[N];
ll L,sum[N],f[N];
inline ll gety(int i,int j){return f[i]-f[j]+sum[i]*sum[i]-sum[j]*sum[j];}
inline ll getx(int i,int j){return sum[i]-sum[j];}
inline double slope(int i,int j){return 1.0*gety(i,j)/getx(i,j);}
int main(){
    n=read(),L=read()+1,hd=tl=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)sum[i]=sum[i-1]+read();
    for(int i=1;i<=n;++i){
        sum[i]+=i;
        while(hd<tl&&slope(q[hd+1],q[hd])<=2*(sum[i]-L))++hd;
        f[i]=f[q[hd]]+(sum[i]-L-sum[q[hd]])*(sum[i]-L-sum[q[hd]]);
        while(hd<tl&&slope(q[tl],q[tl-1])>slope(i,q[tl]))--tl;
        q[++tl]=i;
    }
    cout<<f[n];
    return 0;
}