POJ 2992 Divisors （求因子个数）

题意：给n和k，求组合C(n,k)的因子个数。

这道题，若一开始先预处理出C[i][j]的大小，再按普通方法枚举2~sqrt(C[i][j])来求解对应的因子个数，会TLE。
所以得用别的方法。

在说方法前，先说一个n!的性质：
n!的素因子分解中的素数p的个数为
n/p+n/(p^2)+...+n/(p^k)+...

《ACM-ICPC程序设计系列 数论及应用》上的方法，200+ms：
首先先求解435以内的素因子。
然后预处理出j!中每个素因子的个数，公式如下：
num[j][i]=j/prime[i]+num[j/prime[i]][i];

设n!中素因子p的个数为：a=n/p+n/(p^2)+...+n/(p^k)+...
那么(n/p)!中素因子p的个数为：b=n/(p^2)+...+n/(p^k)+...
很显然a=b+n/p，因此可以利用上述递推公式预处理出所有的j!中每个素因子的个数。

接下来就可以预处理出C(i,j)的因子个数，然后一切就好办了。

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <math.h>

using namespace std;
const int maxn=;
bool isprime[maxn];
int prime[maxn];
int cnt=;
int num[maxn][maxn]; //num[i][j]表示i!中素因子prime[j]的个数。
long long C[maxn][maxn]; //C[i][j](0<=j<=i)表示组合C(i,j)的因子个数。
void init(){
    memset(isprime,true,sizeof(isprime));
    for(int i=;i<maxn;i++){
        if(isprime[i]){
            prime[cnt++]=i;
            for(int j=i*;j<maxn;j+=i)
                isprime[j]=false;
        }
    }
    memset(num,,sizeof(num));
    for(int i=;i<cnt;i++){
        for(int j=;j<maxn;j++)
            num[j][i]=j/prime[i]+num[j/prime[i]][i];
    }
    //预处理出C(i,j)的因子个数
    for(int i=;i<maxn;i++){
        for(int j=;j<i;j++){
            C[i][j]=;
            for(int k=;k<cnt;k++){
                int d=num[i][k]-num[i-j][k]-num[j][k];
                if(d)
                    C[i][j]*=d+;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    int n,k;
    while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF){
        if(n==k ||k==)
            printf("1\n");
        else
            printf("%I64d\n",C[n][k]);
    }
    return ;
}

我的方法没有预处理，每次读取n和k后，利用公式计算n!,k!,(n-k)!的各个因素的个数，最后再总的求。时间600多ms。

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <math.h>

using namespace std;
const int maxn=;
bool isprime[maxn];
int prime[maxn];
int cnt=;
int num[maxn];
void init(){
    memset(isprime,true,sizeof(isprime));
    for(int i=;i<maxn;i++){
        if(isprime[i]){
            prime[cnt++]=i;
            for(int j=i*;j<maxn;j+=i)
                isprime[j]=false;
        }
    }
}
//求n!的各个素因子的个数
void countnum1(int n){
    for(int i=;i<cnt && prime[i]<=n;i++){
        int c=,p=prime[i];
        while(n/p){
            c+=n/p;
            p*=prime[i];
        }
        num[prime[i]]+=c; //在分子上，是+=c。

    }
}
void countnum2(int n){
    for(int i=;i<cnt && prime[i]<=n;i++){
        int c=,p=prime[i];
        while(n/p){
            c+=n/p;
            p*=prime[i];
        }
        num[prime[i]]-=c;  //分母，是-=c
    }
}
int main()
{
    init();
    int n,k;
    while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF){
        memset(num,,sizeof(num));
        countnum1(n);
        countnum2(n-k);
        countnum2(k);
        long long ret=;
        for(int i=;i<cnt;i++){
            if(num[prime[i]]){
                ret*=(num[prime[i]]+);
            }
        }
        printf("%I64d\n",ret);
    }
    return ;
}