【Tsinghua OJ】多米诺骨牌(domino)问题

（domino.c/cpp）
【问题描述】
　　小牛牛对多米诺骨牌有很大兴趣，然而她的骨牌比较特别，只有黑色和白色的两种。她觉
得如果存在连续三个骨牌是同一种颜色，那么这个骨牌排列便是不美观的。现在她有n个骨牌要来排列，她想知道不美观的排列的个数。由于数字较大，数学不好的
她不会统计，所以请你来帮忙。希望你帮她求出不美观的排列的个数。

【输入数据】
　　只有一个正整数，即要排列的骨牌个数。
【输出数据】
　　一个数，即不美观的排列个数。
【样例输入】
4
【样例输出】
6
【样例解释】
　　有四种不美观的排列。
　　黑黑黑黑，白白白白，黑黑黑白，白白白黑，黑白白白，白黑黑黑
【数据范围】
　　20%的数据，n<=60；
　　50%的数据，n<=6000；
　　100%的数据，n<=10000。

　　时间限制： 1 sec
　　空间限制： 256 MB
【提示】
　　动态规划、高精度加法。

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【solution】
虽然只是Tutorial里面的题，虽然听说现在是小学僧的练习题（T_T），不过还真是想了辣么一会儿。算算真是已经有4年多没碰过这些东西了，为了完成这门课作业也真是找回了当初的感觉，真是怀念这种一道一道题“过关斩将”的感觉，已经很久不曾有这种感觉了。

回到正题。这道题初看很容易去正向考虑如何统计“不美观”的排列个数，甚至会误入使用组合数学的错误算法。根据提示，往动态规划方面想，会发现，实
际上，这道题需要反向来思考，即考虑“美观”的排列个数。那么，题目转化为求解连续颜色不超过3（不包括3）的排列个数
a，然后再用所有的排列个数（2^n）减去 a 即得问题解。再细想，这不跟动态规划的经典问题——上楼梯问题 很像吗？

于是，问题得解：
对于每一个色块（连续的 1 个或者 2
个相同颜色的白色或者黑色色块），就相当于上楼梯问题中的上升一阶或者两阶，所以这里其实我们完全可以忽略到颜色这个因素（最后再把得到的上阶梯的总数乘
以2，因为把所有的色块全部反转一次颜色都可以得到原来那种的状态的 twin
solution，而上楼梯问题并未考虑颜色问题，只是简单的划分为一次动作，这个问题正是因为颜色来划分的），而是把一个色块等同为上楼梯问题中的一次
动作。
状态方程为：f[n] = f[n-1] + f[n-2]。初始条件 f[1] = 1; f[2] = 2。
也就是不严格对应项数的著名的斐波拉契数列。
最后的结果为 2^n - 2*f[n]。

由于问题数据规模较大，最后还要用高精度加法来实现。

【source code】

 #include <stdio.h> 

 #define L 6001
 #define wei 208 

 void echo(int ans)        //make sure printing a 4-wei number，此函数可以用格式控制方式： printf("%04d", ans); 简单代替。C++中类似使用setfill('0') setw(30)等
 {
     if (ans > )
     {
         printf("%d", ans);
     }
     else if (ans > )
     {
         printf("0%d", ans);
     }
     else if (ans > )
     {
         printf("00%d", ans);
     }
     else
     {
         printf("000%d", ans);
     }
 } 

 int main(void)
 {
     int n, i, j, temp, pro = , cn = , an[L] = {  }, a[L][wei] = {  }, c[wei] = {  }, ans[wei] = {  };
     bool zero = false; 

     scanf("%d\n", &n);  

     //bases for a, c and an, cn
     a[][] = ; a[][] = ; c[] = ;  

     //a[n] = a[n-1] + a[n-2]
     for (i = ; i <= n; i++)
     {
         //Gao Jin Du Jia Fa
         pro = ;
         for (j = ; j <= an[i - ]; j++)
         {
             temp = a[i - ][j] + a[i - ][j] + pro;
             a[i][j] = temp % ;
             pro = temp  / ;
         }
         if (pro > )
         {
             a[i][j] = pro;
             an[i] = j;
         }
         else an[i] = an[i - ];
     } 

     // 2^n
     for (i = ; i < n; i++)
     {
         //Gao Jin Du Jia Fa
         pro = ;
         for (j = ; j <= cn; j++)
         {
             temp = c[j] *  + pro;
             c[j] = temp % ;
             pro = temp / ;
         }
         if (pro > )
         {
             c[j] = pro;
             cn++;
         }
     } 

     //ans = 2^n - a[n] *2, Gao Jin Du Jia Fa
     pro = ;
     for (j = ; j <= an[n]; j++)
     {
         temp = a[n][j] *  + pro;
         a[n][j] = temp % ;
         pro = temp / ;
     }
     if (pro > )
     {
         an[n]++;
         a[n][j] = pro;
      } 

     pro = ;
     for (j = ; j <= cn; j++)
     {
         temp = c[j] - a[n][j] + pro;
         if (temp < )
         {
             ans[j] = temp + ;
             pro = -;
         }
         else
         {
             ans[j] = temp;
             pro = ;
         }
     } 

     //print the answer, ignoring the zeros in the front
     for (i = cn; i >= ; i--)
     {
         if (!zero)
         {
             if (ans[i] != )
             {
                 printf("%d", ans[i]);
                 zero = true;
             }
         }
         else echo(ans[i]);
     }
     printf("\n"); 

     return ;
 }

【代码改进空间】
1、将高精度算法函数化;
2、仍然只能通过 Tsinghua Online Judge 40%的数据，其他数据都是Runtime error (exitcode: 11)，暂无果。

【优化后AC的代码】
感谢@Plan能抽出时间来AC这道题，同时找到了字符串的高精度加法解决办法，过了100%的数据。以下是参考了她的代码后自己重新几乎是照着写的代码（求2^n的函数从递归形式改成了循环版）：

 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #include <stdlib.h>  

 char *add(char a[], char b[])
 {
     int len, i, j, k, up, x, y, z;
     char *c, *back;

     len = (strlen(a) > strlen(b)) ? strlen(a) +  : strlen(b) + ;
     c = (char *)malloc(len*sizeof(char));
     back = (char *)malloc(len*sizeof(char));

     i = strlen(a) - ;
     j = strlen(b) - ;
     k = ; up = ;

     while (i >=  || j >= )
     {
         if (i<) x = ''; else x = a[i];
         if (j<) y = ''; else y = b[j];
         z = x - '' + y - '';
         if (up == ) z += ;
         if (z>)
         {
             up = ; z %= ;
         }
         else up = ;
         c[k++] = z + '';
         i--; j--;
     }
     if (up) c[k++] = '';
     c[k] = '\0'; 

     //reverse
     i = ;
     for (k -= ; k >= ; k--) back[i++] = c[k];
     back[i] = '\0';

     return back;
 }

 char *sub(char a[], char b[])
 {
     int len, i, j, k, down, x, y, z;
     char *c, *back;

     len = strlen(a);
     c = (char *)malloc(len*sizeof(char));
     back = (char *)malloc(len*sizeof(char));

     i = strlen(a) - ;
     j = strlen(b) - ;
     k = ; down = ;

     while (i >=  || j >= )
     {
         if (i<) x = ''; else x = a[i];
         if (j<) y = ''; else y = b[j];
         z = x - '' - (y - '') - down;
         if ( z <  )
         {
             down = ;
             z = z + ;
         }
         else down = ;
         c[k++] = z + '';
         i--; j--;
     }
     while (c[--k] == '') ;

     //reverse
     i = ;
     for (k; k >= ; k--)
     {
         back[i++] = c[k];
     }

     return back;
 }

 char *power(int n)
 {
     int i;
     char *temp="";

     for (i = ; i <= n; i++)
     {
         temp = add(temp, temp);
     }

     return temp;
 }

 char *fib(int n)
 {
     char *p = "", *q = "";
     char *s = "";
     int i;

     for (i = ; i < n - ; i++)
     {
         s = add(p, q);
         p = q;
         q = s;
     }

     return s;
 }

 int main()
 {
     int n;
     char *mi, *f;

     scanf("%d\n", &n);

     mi = power(n);
     f = fib(n);
     f = add(f, f);

     printf("%s\n", sub(mi, f));

     return ;
 }

【参考资料】
1：http ://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2011/07/22/2113836.html 高精度加法的C++实现；
2：http://blog.sina.com.cn/s/blog_993d2542010143qw.html Fibonacci数列的第N项 log(N)算法（未用到）。

有几点：
1）由于数据规模，四位进一次位的int版高精也无法AC掉所有数据，只能用string来解决了。
2）要注意高精度运算string的顺序是不是跟数字顺序一致，所以代码中有reverse操作。