题目原意:N个方块排成一列,每个方块可涂成红、蓝、绿、黄。问红方块和绿方块都是偶数的方案的个数。

sol:找规律列递推式+矩阵快速幂

设已经染完了i个方块将要染第i+1个方块。

a[i]=1-i方块中,红、绿方块数量都是偶数的方案数

b[i]=1-i方块中,红、绿方块数量一个是偶数一个是奇数的方案数(红even绿odd 或 红odd绿even)

c[i]=1-i方块中,红、绿方块数量都是奇数的方案数

可以得出递推公式:

a[i+1]=2*a[i]+b[i]    

b[i+1]=2*a[i]+2*b[i]+2*c[i]

c[i+1]=b[i]+2*c[i]

如何和矩阵结合起来呢?不妨把公式这样写一遍,

a[i+1]=2*a[i]+1*b[i]+0*c[i]    

b[i+1]=2*a[i]+2*b[i]+2*c[i]

c[i+1]=0*a[i]+1*b[i]+2*c[i]

然后可以YY出一个矩阵:

因此,

这样就可以用矩阵快速幂求解了。

 #include "iostream"
#include "vector"
#include "cstring"
using namespace std; typedef unsigned long int ULL;
typedef vector<ULL> vec;
typedef vector<vec> mat;
const ULL P=;
int n,m; mat mul(mat &A,mat &B) //return A*B
{
mat C(A.size(),vec(B[].size()));
for (int i=;i<(int)A.size();i++)
{
for (int k=;k<(int)B.size();k++)
{
for (int j=;j<(int)B[].size();j++)
{
C[i][j]=(C[i][j]+A[i][k]*B[k][j])%P;
}
}
}
return C;
} mat m_pow(mat A,int m) //return A^m
{
mat B(A.size(),vec(A.size()));
for (int i=;i<(int)A.size();i++)
B[i][i]=;
while (m>)
{
if (m&) B=mul(B,A);
A=mul(A,A);
m>>=;
}
return B;
} int main()
{
int T,N;
cin>>T;
while (T--)
{
cin>>N;
mat A(,vec());
A[][]=; A[][]=; A[][]=;
A[][]=; A[][]=; A[][]=;
A[][]=; A[][]=; A[][]=; A=m_pow(A,N); cout<<A[][]<<endl;
}
return ;
} /*
int main()
{
int T;
cin>>T;
while (T--)
{
cin>>n>>m;
mat A(n,vec(n)); for (int i=0;i<n;i++)
for (int j=0;j<n;j++)
cin>>A[i][j]; A=m_pow(A,m); ULL ans=0;
for (int i=0;i<n;i++)
{
ans+=A[i][i];
ans=ans%P;
}
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}
*/

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