RBF高斯径向基核函数【转】

XVec表示X向量。||XVec||表示向量长度。
r表示两点距离。r^2表示r的平方。
k(XVec,YVec) = exp(-1/(2*sigma^2)*(r^2))
= exp(-gamma*r^2)...... 公式-1
这里, gamma=1/(2*sigma^2)是参数, r=||XVec-YVec||
实际上，可看作是计算2个点X与Y的相似性。很多参考书上，把YVec写作XVec',即 k(XVec, XVec')，也是一样的含义:两点相似性。由于Matlab上面XVec'代表XVec的转置向量(XVec)T,所以，为规避歧义，我记作k(XVec,YVec)。如：LibSVM代码，机器学习经典教材《Pattern Recognition and Machine Learning -Bishop》P312.(三大牛人巨著: Michael I. Jordan,加州大学伯克利分校计算机系/Jon Kleinberg,康奈尔大学计算机系/Bernhard Schlkopf德国蒂宾根马普所)。
r是半径(radial)，这也是径向基核函数(radial basis function)名称的由来。

很容易，写出高斯RBF matlab代码:
r = norm(XVec-YVec, 2); % L2范数嘛
或者: r = sum((XVec-YVec).^2)^(1/2);
k = exp(-gamma*r^2);

假设X与Y矩阵的每一行是一个样本，如何求得K(X,Y)?
假若X = train_data是训练数据, K(X,X)是训练核矩阵，可拿去LibSVM做自定义核训练。当然，这里只是童鞋们的一个练习。LibSVM svmtrain有RBF核(-t 2)。
假若X = test_data 是测试数据, Y = train_data 是训练数据, 那么 K(X,Y)是测试核矩阵了。(svmpredict)

MatLab下，核矩阵怎么求更高效？去掉for循环！
推导下。
MatLab下，X'代表X的转置矩阵。
r^2 = ||XVec - YVec||^2
= ||XVec||^2 + ||YVec||^2 - 2*XVec*YVec'
= XVec*XVec' + YVec*YVec' - 2*XVec*YVec'
r^2 = repmat( sum(X.^2,2), 1, size(Y,1) ) ...
+ repmat( sum(Y.^2,2), 1, size(X,1) )' ...
- 2*X*Y' ;
代入公式-1, 得到高斯径向基RBF核矩阵KRBF = K(X, Y):
KRBF = exp(-gamma*r^2); % RBF核矩阵
在LibSVM中，gamma默认是：1/num_features , 即X与Y的列数。
假若X是m×d矩阵, Y是n×d矩阵，则KRBF = K(X, Y)是m×n矩阵;
则KRBF = K(Y, Y)是n×n矩阵。
例如：Corel5k图片库，提取出Gist全局视觉特征，训练数据4500×512矩阵Y，测试数据499×512矩阵X，特征数num_features = 512，那么 默认值 gamma = 1/512;

高斯径向基RBF核矩阵KRBF 写成MatLab函数:
function KMatrix = getKRBF(X, Y, gamma)
r2 = repmat( sum(X.^2,2), 1, size(Y,1) ) ...
+ repmat( sum(Y.^2,2), 1, size(X,1) )' ...
- 2*X*Y' ; % r^2(r的平方)
KMatrix = exp(-gamma*r2);