ACM_数论_阶乘N！的末尾有几个零 和 末尾有多少个 1 nyoj 954

原文地址

首先阶乘的一个常识要知道就是25！的末尾6位全是0；

前言:

《编程之美》这本书，爱不释手！

问题描述:

1. 给定一个整数N,那么N的阶乘N！末尾有多少个0呢?例如:N=10，N!=362800，N!的末尾有两个0;
2. 求N!的二进制表示中最低位1的位置。

问题1的求解：

分析：

解法一：

首先，最直接的算法当然是直接求出来N！然后看末尾有几个0就行了。但这里存在两个问题：

（1）不管使用long或者double一定会产生溢出。

（2）效率低下。

对于问题（1），我们可以采用字符串存储的办法解决，但问题（2）是由本身算法决定的，所以只能采用其他的算法。

那
到底有没有更好的算法呢？我们来分析，N！能产生0的质数组合只能是2 *
5，也就是说当对N!进行质数分解之后，N!末尾0的个位M取决于2的个数X和5的个数Y的最小值，即M =
min（X,Y）。又因为能被2整除的数出现的频率比能被5整除的数高得多，且出现一个5的时,最少会同时出现一个2，所以M =
Y。即得出Y的值就可以得到N!末尾0的个数。

计算Y，最直接的方法，就是计算机1…N的因式分解中5的个数，然后求和。

代码如下：

static long GetZeroNum(long n)
{
    long num = ;
    int i,j;
    for(i=; i<=n; i++)
    {
        j=i;
        while(j %  == )
        {
            num++;
            j/=;
        }
    }
    return num;
}

解法二：

那 么还有没有更简单点的方法呢？我们想，Y还能怎么样得到？举个例子 25的阶乘中，总共有6个五，其中5,10,15,20，各贡献一个，25贡献两个，也可以说成，5,10,15,20，25各贡献一个，25又额外贡献 一个，即5的倍数各贡献一个5,25的倍数各贡献一个5,即Y=[25/5] + [25/25]。同理，125中，5的倍数各贡献一个5,25的倍数各贡献一个5,125的倍数也各贡献一个5，所以Y=[125/5] + [125/25] + [125/125],所以可得公式：

Y = [N/5] + [N/5²] + [N/5³] + …

代码如下：

static long GetZeroNum(long n)
{
    long num = ;
        while(n != )
        {
            num=num+n/;
            n=n/;
        }
    return num;
}

问题2的求解：

分析：

首先我们来分析一个二进制数乘以2和除以2的过程和结果是怎么样。

一个二进制数乘以2就是把将此二进制数向左移一位，末位补零。除以2时，则要判断末位是否为0，若为0，向右移一位，若不能为0，则不能被2整除。

所以，其实本问题其实是求N!含有多少个2，最低位1的位置等于N！中含有2的个数加1。

代码如下：

//计算n的阶乘的二进制中最低位1的位置，
//返回值表示倒数第几位；
static long LowestOnew(long n)
{
    long num=;
    while(n!=)
    {
        num=num+n/;
        n=n/;
    }
    return num+;
}