运动员最佳匹配问题 KM算法：带权二分图匹配

题面：

羽毛球队有男女运动员各n人。给定2 个n×n矩阵P和Q。P[i][j]是男运动员i和女运动员j配对组成混合双打的男运动员竞赛优势；Q[i][j]是女运动员i和男运动员j配合的女运动员竞赛优势。由于技术配合和心理状态等各种因素影响，P[i][j]不一定等于Q[j][i]。男运动员i和女运动员j配对组成混合双打的男女双方竞赛优势为P[i][j]*Q[j][i]。设计一个算法，计算男女运动员最佳配对法，使各组男女双方竞赛优势的总和达到最大。

题解：

看完题很容易发现这就是一个带权二分图匹配，

那么有两种选择：KM算法，费用流，

由于KM算法时间复杂度更优，这里选择KM算法，

以P[i][j]*Q[j][i]为边权直接匹配就好了

我是当KM算法模板做的，，，，

KM算法网上讲解也蛮多的，这里就不写了（其实是懒得画图）

这里运动员的数量很少，显然用邻接矩阵更合适，

匈牙利算法其实也可以看做是权值为1的带权二分图，

KM算法中也需要用到匈牙利，

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define R register int
 #define AC 24
 int n,ans;
 int tmp[AC][AC],s[AC][AC];
 int vis[AC],z[AC];//vis = boy ,z = girl
 int slack[AC];//对应的男生至少要降低多少权值
 int link[AC],power_g[AC],power_b[AC];
 /*km算法模板题*/

 inline void upmax(int &a,int b)
 {
     if(b > a) a = b;
 }

 inline void upmin(int &a,int b)
 {
     if(b < a) a = b;
 }

 void pre()
 {
     scanf("%d",&n);
     for(R i=;i<=n;i++)
         for(R j=;j<=n;j++)
             scanf("%d",&tmp[i][j]);
     for(R i=;i<=n;i++)
         for(R j=;j<=n;j++)
         {
             scanf("%d",&s[i][j]);
             s[i][j] *= tmp[j][i];//求出每条边的权值
             upmax(power_g[i],s[i][j]);//初始权值为所有权值里面最大的那个
         }
 }

 bool dfs(int x)
 {
     int now;
     z[x]=true;
     for(R i=;i<=n;i++)
     {
         if(vis[i]) continue;//每个男生只能访问一次
         now=power_g[x] + power_b[i] - s[x][i];//获取权值和与边权之间的差距（一般会为正？）
         if(!now)//如果刚好相等就连了
         {
             vis[i]=true;
             if(!link[i] || dfs(link[i]))//如果对方还没有被匹配or之前那个人可以换走的话
             {//因为要换走自己这边的人，所以是dfs(link[i])啊
                 link[i]=x;//就连上
                 return true;//其实这部分就是匈牙利
             }
         }
         else upmin(slack[i],now);//不然就获取最小差距，以便调整权值时用
     }
     return false;//要是前面一直没有被匹配上
 }

 void KM()
 {
     int x;
     for(R i=;i<=n;i++)
     {
         memset(slack,,sizeof(slack));//因为要获取最小限度，所以初始化为极大值
         while()//为什么一定要匹配满？貌似是题目要求，，，，
         {
             memset(vis,,sizeof(vis));
             memset(z,,sizeof(z));
             if(dfs(i)) break;//如果直接就配上了那就算了
             x=INT_MAX;
             for(R j=;j<=n;j++)
                 if(!vis[j]) upmin(x,slack[j]);//获取整张图的最小限度
             for(R j=;j<=n;j++)
             {//给涉及到的点修改权值
                 if(z[j]) power_g[j] -= x;//error!!!不要搞反了，是给女生降低，男生提高
                 if(vis[j]) power_b[j] += x;
                 else slack[j] -= x;//因为对面降低了，所以差距也小了
             }
         }

     }
     for(R i=;i<=n;i++)
         ans+=s[link[i]][i];//枚举男生，因为link[i]存的是男生对应的女生，所以只有男生才能获取到女生，反之不行
     printf("%d\n",ans);
 }

 int main()
 {
 //    freopen("in.in","r",stdin);
     pre();
     KM();
 //    fclose(stdin);
     return ;
 }