hdu 1573 A/B (扩展欧几里得)

Problem Description

要求(A/B)%9973，但由于A很大，我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除，且gcd(B,9973)= 1)。

Input

数据的第一行是一个T，表示有T组数据。

每组数据有两个数n(0 <= n < 9973)和B(1<= B <= 10^9)。

Output

对应每组数据输出(A/B)%9973。

Sample Input

2

1000 53

87 123456789

Sample Output

7922

6060

/*************************

欧几里得算法，又称辗转相除法，用于求最大公约数：  c = gcd（a,b） = gcd（b,a%b）；

扩展欧几里得算法：

若a，b不全为0，则存在x，y使得 c = gcd（a,b） = a*x+b*y;

因为 gcd（a,b） = gcd（b,a%b），则有 x*a + y * b = x1 * b + y1 * (a%b)，等式右边变形，则得到：b * x1 + (a%b) * y1 = b * x1+(a-a/b*b) * y1 = a * y1+b * (x1 - ( a / b) * y1)。

则  x = y1 ， y= x1-(a/b)*y1，然后可由后向前迭代得到 x,y。

1573 A/B：

A%B = 0 可令 x = A / B -> A = B*x;

n = A % 9973 = A - A / 9973 * 9973 :

= B*x - A/9973*9973

= n

可以 令 y = A / 9973;  则 B * x + y * 9973 = n;

因为 gcd（9973,B） = 1,所以不能用exgcd（B,9973,x,y）;

B * x1 + 9973 * y1 = 1; -> B * x1 *n + 9973 * y1 * n = n;

红色字体的两个式子比较系数就可以看出 x = x1 * n;

然后求 x % 9973 就OK 了

代码：

#include <iostream>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)//  扩展欧几里得函数模板
{
    if(b==0)
    {
        x = 1;y = 0;return a;
    }
    int d = exgcd(b,a%b,x,y);
    int t = x;
    x = y;
    y = t-a/b*y;
    return d;
}

int main()
{
    int t,n,B,x,y,ans,xx;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n>>B;
        ans = exgcd(B,9973,x,y);
        xx = x*n;
        ans = (xx%9973+9973)%9973;  // 防止 x 为负数
        cout<<ans<<endl;
    }
}