SVM公式详尽推导，没有思维跳跃。

假定数据集\(T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)\}，x_n \in R_k, y_n \in \{1,-1\}\)线性可分,SVM的优化目标是：

优化一个超平面的参数，使得这个超平面，能够正确划分两类数据，并且，距离（动词），两类数据最近的那个点，的距离最大。

tip: 优化一个超平面的参数指的是：调整超平面的参数值。

写成数学公式为：

使得这个超平面，能够正确划分两类数据[1]

\[y(w·x+b) > 0 \tag{1} \label{1}
\]

距离（动词），两类数据最近的那个点，的距离最大。[2]

\[max(min(y\frac{w·x+b}{||w||})) \tag{2} \label{2}
\]

假设在所有\((w,b) \in \{(w_1,b_1),(w_2,b_2),\cdots\}\)中，最优解为\((w^*,b^*)\),该最优解对应的，离这个超平面最近的点为\((w_k,y_k)\)，我们现在改写\(\eqref{2}\)，但是毕竟是需要优化的，我们就不把最优解放到里面去，那么\(\eqref{2}\)可以改写为：

\[max(y_k\frac{w·x_k+b}{||w||})
\]

如果要写进去，那么就可以写成：

\[max(y_k\frac{w·x_k+b}{||w||}) = y_k\frac{w^*·x_k+b^*}{||w^*||}
\]

我们继续在上面的假设内，我们看到离超平面\((w^*,b^*)\)最近的点，到该超平面的距离为\(y_k\frac{w^*·x_k+b^*}{||w^*||}\),那么公式\(\eqref{1}\)可以改写为：

\[\frac{y(w^*·x+b^*)}{||w^*||} \geq \frac{y_k(w^*·x_k+b^*)}{||w^*||}
\]

现在让我们假设（注意，我现在已经在上面的假设上又假设了一次，相当于if语句里面又来了个if语句，我现在还没有说明对应的两个else语句，只有说明了两个else语句，所有情况才算全部讨论到），我们找到了\((w^*,b^*)\)，但是让我们来看看这个解\((2w^*,2b^*)\)。首先，其满足\(\eqref{2}\)，另外：

\[max(y_k\frac{w·x_k+b}{||w||}) = y_k\frac{w^*·x_k+b^*}{||w^*||}=y_k\frac{2w^*·x_k+2b^*}{||2w^*||}，\\
||2w^*||=\sqrt{(\sum{(2w_i)^2})}=\sqrt{(4\sum{w_i^2})}=2\sqrt{(\sum{w_i^2})}=2||w^*||
\]

我们再来看更一般的：

\[max(min(y\frac{w·x+b}{||w||})) =max(min(y\frac{kw·x+kb}{||kw||})),k \neq 0
\]

tip: 我这里假设了\(k \neq 0\),其实这不是假设，而是必然的结果，因为如果\(k=0\)，那么超平面\((kw^*,kb^*)=(0，0)\)，这是不满足\(\eqref{1}\)的（把\(w\)和\(b\)均设为0，然后看看左边是否都大于0），既然不满足\(\eqref{1}\)，\((0，0)\)就不是解，那么\(k=0\)就不在我们的讨论范围内，所以\(k \neq 0\)。\(k \neq 0\)的原因是其不在我们的讨论范围内，而不是简单的，听到已经麻木了的"分母不能为0，所以\(k \neq 0\)"。另外，通过穷举可以看出$ k \in R \space \and \neq 0$。

从上面的一个式子可以看出，就算我们找到了一个最优解\((w^*,b^*)\)（或者我们找到的是\((2w^*,2b^*)\)，但是我们可以把\((kw^*,kb^*)\)记作\((w^*,b^*)\)），我们可以通过给予\(w\)和\(b\)一个非零参数\(k\)，诞生出另一个解，但实际上集合\(\{(w^*,b^*),(2.2w^*,2.2b^*),(3w^*,3b^*),...\}\)都是同一个向量(如果\(w\)是一个n维向量,那么\((w,b)\)，可以看作一个n+1维向量。)，另外,因为\(k \in R \space \and \neq 0\),\(y(w·x+b) > 0\)(因为\(y\frac{w·x+b}{||w||}\)为点\((x,y)\)到超平面\((w,b)\)的距离，数据集T是线性可分的，那么该距离大于0，从而分子大于0),所以

\[y(kw·x+kb) > 0
\]

那么优化目标可以改写为[3]：

\[max(min(y\frac{w·x+b}{||w||})) =max(min(y\frac{kw·x+kb}{||kw||}))=max(y_k\frac{kw·x_k+kb}{||kw||})=max(\frac{1}{||k_1w||})=max(\frac{1}{||w||}), \\
s.t: \frac{y(w·x+b)}{||w||} \geq \frac{y_k(w·x_k+b)}{||w||}=\frac{1}{||k_1w||}=\frac{1}{||w||},\\k \neq 0
\]

注意：

\[max(\frac{1}{||w^*||}) \iff min(||w^*||) \iff min(\frac{1}{2}||w^*||^2)
\]

所以最终优化目标为(在上面的两个假设内）：

\[min(\frac{1}{2}||w||^2),\\
s.t \space\space y(w·x+b) \geq 1
\]

到这里为止，SVM的推导其实还未完，因为我们是做了两个假设才推出SVM的优化公式的，那万一假设不满足呢？

我们一共做了两个假设：

假设在所有\((w,b) \in \{(w_1,b_1),(w_2,b_2),\cdots\}\)中，最优解为\((w^*,b^*)\)

现在让我们假设,(xxx)，我们找到了\((w^*,b^*)\)

现在让我们讨论另外的情况：

• 对应于假设”现在让我们假设,(xxx)，我们找到了\((w^*,b^*)\)“，如果找不到\((w^*,b^*)\)怎么办，那就继续找嘛，因为大假设里面保证了最优解存在，所以\((w^*,b^*)\)是一定能找到的。所以，第二个if对应的else语句就是continue，即一直找。（应该是的，既然存在，那么就可以找到）
• 对应于假设”假设在所有\((w,b) \in \{(w_1,b_1),(w_2,b_2),\cdots\}\)中，最优解为\((w^*,b^*)\)“，如果\((w,b) \in \{\}\)怎么办？因为数据集线性可分，那么就存在\((w,b)\)能够正确划分数据集,所以\((w,b) \in \{\}\)不成立，那么\((w,b) \in \{(w_1,b_1),(w_2,b_2),\cdots\}\)一定成立，那么如果没有最优解怎么办？从最终的优化目标中可以看出，优化目标有下界（即值的变化范围存在一个最小值），那么最优解一定是存在的。所以，第一个if对应的else不用写，因为不会走else语句。

至此，SVM的推导才算真正完成。

注释：

线性可分:对于数据集\(S\),若存在一个超平面\((w,b)\)，能够正确划分数据集，即对于任意样本\((x,y)\),如果\(y=1\),那么\(w·x+b>0\)，否则\(w·x+b<0\),则（这个字对应前面的‘若’），超平面\((w,b)\)可分数据集\(S\),数据集\(S\)线性可分。

超平面:满足某个等式（如\(w·x-y+b=0\)）的高维度（即\(x \in R_k,k>2\))点\((x,y)\)(这里的\(x\)和\(y\)对应前面一个括号里面的\(x\)和\(y\))，的集合。【另外可以看这里】

[1]:公式\(\eqref{1}\)的解释，见线性可分,运算符号‘\(·\)’为向量的点积运算.

[2]:公式\(\eqref{2}\)最里面的公式为点到超平面的距离，见文章：高维空间中，点的超平面的距离.

[3]:

• \(max(min(y\frac{kw·x+kb}{||kw||}))=max(y_k\frac{kw·x_k+kb}{||kw||})\)的解释：
  
  对于任意一个超平面\((w,b)\)可行解，都存在一个点\((x_k,y_k)\)（自己在三维空间中想一下，对于某个能完全正确划分数据集的平面\((w,b)\)，都会有一个离其最近的点\((x_k,y_k)\)），使得\(min(y\frac{kw·x+kb}{||kw||})\)=\(y_k\frac{kw·x_k+kb}{||kw||}\).

• \(max(y_k\frac{kw·x_k+kb}{||kw||})=max(\frac{1}{||k_1w||})\)的解释：
  
  因为\(y(kw·x+kb)>0\)取任何值，都会有分母对应其值，使其回到原来的值。另外可以这样理解：不管\(y(w·x+b)>0\)取什么值，都存在一个值\(k_1\)使得\(y(k_1w·x+k_1b)=1\)，所以我们可以把\(y(w·x+b)\)的值限制为1，至于为什么要这么做，应该是为了简化表达式，但是这样子\(b\)就没法优化了，后面的优化还没看。

可行解: 对于某个问题，如果某个结果满足其约束条件，那么该结果就是该问题的可行解。比如：

有以下问题：

\[min \space y,\\
s.t:\space y>= 1
\]

那么\(y=4\)就是可行解，因为其满足约束条件。