魔怔愉悦之 Vizing 定理

Vizing 定理

定义 \(\Delta(G)\) 表示图 \(G\) 的点的最大度数，即 \(\displaystyle\Delta G=\max_{i=1}^{|V|}\deg(i)\) .

边色数问题：对图 \(G\) 的每条边染一种颜色，使得有公共点的边涂不同的颜色，若能用 \(k\) 种颜色给 \(G\) 的边着色就称对 \(G\) 的边进行了 \(k\) 着色，或称 \(G\) 是 \(k\)-边可着色的 .

若 \(G\) 是 \(k\)-边可着色，且不是 \((k-1)\)-边可着色的，就称 \(k\) 是 \(G\) 的边色数。记作 \(\chi'(G)\) .

Vizing 定理：

\(G\) 是简单图，则 \(\Delta(G)\le\chi'(G)\le\Delta(G)+1\) .

证明略 .

二分图 Vizing 定理

\(G\) 是二分图，则 \(\chi'(G)=\Delta(G)\) .

证明看 yspm 博客 .

例题

qiandao & UOJ444

一个 \((n,m)\) 点的二分图，\(k\) 条边，\(c\) 个颜色 .

一个点的代价是给其边染色之后边表中出现次数最多的颜色减去出现次数最少的颜色，求所有点的代价和的最小值 .

UOJ444 要求构造一组方案 .

随便一个点 \(u\)，拆成 \(\deg(u)/c\) 个度数为 \(k\) 的节点和一个度数为 \(\deg(u)\bmod c\) 的节点（如果 \(c\mid\deg(u)\) 就不拆后面的） .

在满足度数限制的情况下，一条边端点可以连接任意一个拆出来的点，根据 Vizing 定理，我们显然可以构造出该图的一种 k 染色方案。

然后就没了 .

哦对答案是 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n+m}[c\nmid\deg(i)]\) .

现在真没了 .