[OCWA 模拟赛ADay1] 钢铁侠的逃离

Description

给定 \(A,B,N\) ，求 \(\sum\limits_{i=1}^{N} popcount(B+i*A)\) ，其中 \(popcount\) 是指数 \(x\) 在二进制下 \(1\) 的个数。

多组数据。

数据范围 \(1\le T\le 20, 1\le A\le 10000, 1\le B\le 10^{16}, 1\le N\le 10^{12}\)

时间限制 \(2000\ ms\)

空间限制 \(128\ MB\)

Solution

对每位进行分析。

对于第 \(i\) 位，我们发现，这 \(n\) 个数每经过 \(2^{i+1}\) 就一循环，因为 \(2^{i+1} * x\) 在二进制下末 \(i+1\) 位均为 \(0\) 。

所以，我们可以对于这些循环的批量做，剩余的那些同样这么做即可。

具体见代码。

复杂度 \(O(log值域*\frac{x}{x/a})=O(a*log值域)\)

Code

// Author: wlzhouzhuan
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define rint register int
#define rep(i, l, r) for (rint i = l; i <= r; i++)
#define per(i, l, r) for (rint i = l; i >= r; i--)
#define mset(s, _) memset(s, _, sizeof(s))
#define pb push_back
#define pii pair <int, int>
#define mp(a, b) make_pair(a, b)

inline int read() {
  int x = 0, neg = 1; char op = getchar();
  while (!isdigit(op)) { if (op == '-') neg = -1; op = getchar(); }
  while (isdigit(op)) { x = 10 * x + op - '0'; op = getchar(); }
  return neg * x;
}
inline void print(int x) {
  if (x < 0) { putchar('-'); x = -x; }
  if (x >= 10) print(x / 10);
  putchar(x % 10 + '0');
}

ll T, a, b, n;

ll calc(ll l, ll r, ll mod, ll base) {
  ll ret = 0;
  for (ll i = l, j; i <= r; i = j + 1) {
    ll x = (b + a * i) % mod;
    if (x >= base) { // 这一位上是1
      j = min(r, i + (mod - 1 - x) / a);
      ret += j - i + 1;
    } else { // 这一位上是0
      j = min(r, i + (base - 1 - x) / a);
    }
  }
  return ret;
}
int main() {
  cin >> T;
  while (T--) {
    cin >> a >> b >> n;
    ll maxx = b + a * n, ans = 0;
    for (ll x = 1, mod = 2; x <= maxx; x <<= 1, mod <<= 1) {
      ans += (n / mod) * calc(1, mod, mod, x) + calc(1, n % mod, mod, x);
    }
    cout << ans << '\n';
  }
  return 0;
}