CF79D 题解

题解

传送门

你有 \(n\) 个灯泡，一开始都未点亮。

同时你有 \(l\) 个长度，分别为 \(a_1 \sim a_l\)。

每次你可以选择一段连续的子序列，且长度为某个 \(a_i\)，并将这些灯泡的明灭状态取反。

求最少的操作次数，使得最后有且仅有 \(k\) 个位置是亮的，这些位置已经给定，为 \(x_1 \sim x_k\)。

\(1 \le n \le 10^4,1\le l \le 10^2,1\le k\le 10\)。

题解

看到 \(k\) 的范围，考虑状压。但思考了一会没有什么头绪。于是开始寻找充要条件。

发现难点在于区间翻转。一个常见的技巧是差分。于是将原序列变成其异或差分序列，即 \(a_i=a_i \oplus a_{i+1}\)。易证差分序列与原序列是一一对应的。

此时操作变成了将两个距离一定的位置单点翻转。此时状压已经初见眉目了：如果翻转两个 \(0\)，就可以变成更大的状态。但如果是其他情况呢？

如果翻转 \(1\) 和 \(0\)，会导致最终状态应该是 \(1\) 的点出现 \(0\)。那么其最后肯定是要翻回来的。因为翻转的顺序不影响结果，我们可以先考虑“翻回来”的操作。于是可以发现，操作构成一条路径。因为最后一定落在最终状态为 \(0\) 的点上，故做一下最短路后就可以解决。

如果翻转两个 \(1\)，显然没有意义。

于是此题解决。