算法学习笔记(5): 最近公共祖先(LCA)

最近公共祖先(LCA)

目录

• 最近公共祖先(LCA)
  • 定义
  • 求法
    • 方法一：树上倍增
      • 朴素算法
      • 复杂度分析
    • 方法二：dfs序与ST表
      • 初始化与查询
      • 复杂度分析
    • 方法三：树链剖分
      • DFS序
        • 性质
      • 重链
      • 重边
      • 重子结点
      • 剖分方法
      • 剖分作用
      • 复杂度分析
      • 树链剖分拓展

最近公共祖先是树上的概念，不了解树的出门左转百度：树（数据结构名词）_百度百科

定义

假设我们需要求 x 和 y 的最近公共祖先，这里有多种等价的定义

• 路径x到y上深度最小的点

• x和y公共祖先中深度最大的点

• x和y在这棵树上距离最近的公共祖先结点

如果x就是y的祖先，则x本身就是两者的最近公共祖先

求法

通常来说有四种

• 树上倍增

• dfs序与ST表

• 树链剖分

• Tarjan (离线算法)

这里我们只讨论前三种在线算法

方法一：树上倍增

倍增的思想可以看一下这篇文章：算法学习笔记(3): 倍增与ST算法

这是基于朴素方法的优化，所以在讲树上倍增之前我们还需要讲一下朴素的方法

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朴素算法

选择x和y中深度较大的点，向上跳直到两者深度相同，然后两者同时向上跳直到两者第一次相遇，此时两者所在即是最近公共祖先

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显然，我们每次只跳一个显然不优，所以借鉴倍增与二进制拆分的思想

令fa[x][k]指从x开始，向上跳2^k次所能达到的祖先，特别的，如果深度不够，则fa[x][k] = 0

那么，基于朴素算法的流程：我们只需要跳的时候利用倍增的思想就行了

这里给出一种参考代码：

notice: 这其实不是一种特别好的写法

int lca(int x, int y) {
    int p;
    // 这里保证了x是深度相对较大那一个
    if (dep[x] < dep[y]) p = x, x = y, y = p;

    // 将x跳到与y深度相同的位置
    p = 0;
    while (p >= 0) {
        if (dep[fa[x][p]] >= dep[y]) x = fa[x][p], ++p;
        else --p;
    }

    // 达到同样深度就已经相遇（y是x的祖先）
    if (x == y) return x;

    // 两者同时向上跳直到相遇
    p = 0;
    while (p >= 0) {
        if (fa[x][p] != fa[y][p]) x = fa[x][p], y = fa[y][p], ++p;
        else --p;
    }
    // 最后还要向上跳一个才是公共祖先
    // 通过这种倍增写法得出的位置是最后一个满足if条件的位置！！！
    return fa[x][0];
}

那么问题来了，如何初始化？

显而易见，跳2^k步相当于跳2次2^(k-1)步，所以有了

fa[x][i] = fa[fa[x][i - 1]][i - 1];

复杂度分析

在初始化的时候每一个点都需要O(logN)，那么总初始化需要O(NlogN)

在询问时，令k为x, y到最近公共祖先的最大距离，根据倍增算法，则复杂度为O(logk)，当树退化成一条链时，k最大取到n，那么最终复杂度应该为O(logN)

综上，初始化需要O(NlogN)，单次询问需要O(logN)

方法二：dfs序与ST表

这种方法相对难以理解，所以读者可以在掌握了一般的Tarjan缩点算法后再理解（这两个算法几乎没有关系，但是一些思想在Tarjan中有所体现)

下文中不是特别明白名词在后文中有所提及，或者可以参考讲解Tarjan算法的文章

先求出树每一个结点的dfn，不妨令x比y更先遍历到（dfn[x] < dfn[y]）

• 若x不是y的祖先

在dfs序列中，区间[dfn[x], dfn[y]]内一定包含了LCA子树的部分，但不包含LCA及其祖先，并且该区间一定包含了LCA到y路径上的第一个儿子，而且它的深度是最小的

所以，我们只需要找到区间[dfn[x], dfn[y]]中深度最小的点，它的父结点就是LCA

• 若x是y的祖先，则x就是LCA，且x是区间[dfn[x], dfn[y]]中深度最小的点，与上述情况不太一样，那么考虑我们将x排除在区间外，则在区间[dfn[x] + 1, dfn[y]]中深度最小的点的父亲结点就是x。返回考虑第一种情况，由于第一种情况x一定不是LCA，那么将区间替换为[dfn[x] + 1, dfn[y]]不影响答案。

综上，我们只需要求区间[dfn[x] + 1, dfn[y]] 中深度最小的点的父结点即可。

初始化与查询

定义rdfn满足x == rdfn[dfn[x]]，ST表初始化时f[i][0] = rdfn[i]。

其实可以只需要dfn就ok，f[dfn[i]][0] = i

定义区间操作

int Min(int x, int y) {
    return depth[x] < depth[y] ? x : y;
}

定义查询操作

int query(int x, int y) {
    if (x == y) return x; // 同一个结点啊
    // 确保x是先遍历到的那一个结点
    if (dfn[x] > dfn[y]) std::swap(x, y);
    int k = log(dfn[y] - dfn[x]);
    return Min(f[dfn[x] + 1][k], f[dfn[y] - (1<<k) + 1][k]);
}

其余的就套模板就行了

复杂度分析

初始化其实主要是ST表的初始化，所以初始化的复杂度为O(NlogN)（实际上应该是O(N + NlogN）

查询也是ST表的区间查询，复杂度为O(1)

方法三：树链剖分

好高级的名字……

树链剖分指将一棵树分割为若干条链，以维护树上信息。它包含重链剖分、长链剖分、实链剖分，在没有特殊说明的情况下，树链剖分一般指代重链剖分。这里也着重描述重链剖分。

这里先给出一些

DFS序

dfs序指dfs的顺序。具体方法是用一个计数变量cnt，遍历到结点x时，时间戳dfn[x] = ++cnt，对应dfs序列中第cnt个就是x

而上文定义中的rdfn则可以在同时通过rdfn[cnt] = x记录下来

性质

• 结点的dfn大于其任意父结点

• 对于任意结点（包含本身）的子树中，存在一个dfn是连续的一条链

如果子树在dfs序列中是连续的一段，在维护子树（子树求和之类的子树操作）时，直接把它看做一个序列，那么就和在线段树上操作没有区别了

重链

相邻重边链接形成的链

重边

重子结点（如果有）与其父结点相连的边

重子结点

一个结点的子结点中度最大的结点（孩子个数最多的点）

剖分方法

重链剖分就是将每一条重链单独划分出来，从而通过dfn来维护链上信息

至于如何剖分，需要进行两次遍历

第一次遍历，获得所有节点的siz, dep, fa, son

这里siz指结点的度，三个字符统一一下，fa是个例外，dep指结点的深度，fa指结点的父结点，son指结点的重子结点

第二次遍历，获得所有点的dfn, top

这里dfn无需解释，top指结点所在重链最顶部的结点

思路清晰，这里给出一种参考写法

注意前提，点编号从1 ~ n，且这里用的是前向星存图（树）

int top[N], dfn[N], son[N], dep[N], siz[N], fa[N];
// work son, siz, dep and fa
void workSSDF(int x, int par) {
    dep[x] = dep[par] + 1, fa[x] = par, siz[x] = 1;
    for (int y, i = head[x]; i; i = edge[i].next) {
        y = edge[i].to;
        if (y == par) continue;
        workSSDF(y, x);
        siz[x] += siz[y];
        if (siz[y] >= siz[son[x]]) son[x] = y;
    }
}

// work dfn and top
int cdfn = 0;
void workDT(int x, int ptop) {
    dfn[x] = ++cdfn, top[x] = ptop;
    if (son[x]) workDT(son[x], top[x]);

    for (int y, i = head[x]; i; i = edge[i].next) {
        y = edge[i].to;
        if (!dfn[y]) workDT(y, y);
    }
}

剖分作用

这么麻烦的求这个树链剖分有啥用？

如果我们随便画一个图并模拟一下上述过程……

graph TD;
A[结点编号]
1---2;
1---3;
3---4;
3---5;
3---7;
4---8;
8---9;
5---6;

在两次遍历完之后：

graph LR;
A[结点上的是dfn序]
subgraph 重链1
1 === 2;
2 === 3;
3 === 4;
4 === 5;
end
subgraph 重链2
6 === 7;
end
subgraph 重链3
2 --- 8
end
subgraph 重链4
1 --- 9
end
2 --- 6

考虑用纯markdown画图是真的难受，但树的结构是一样的……T^T

我们很容易发现，在同一条重链上的结点的dfn序是连续的……（这我们稍后在论述）

回到求LCA的流程，由于我们把树分为了从上到下的一些链

注意每一条链中没有深度相同的结点

所以，我们只需要不断的把两个结点通过top向上跳直到在同一条链上（此时top[x] == top[y]）

至于为什么要跳top结点的深度较大的结点……还请读者自行讨论

有一个需要注意的地方，不能直接x = top[x]，因为top[top[x]] == top[x]!!!

所以还需要跳到top[x]的父节点上

流程清晰，这里给出一种参考代码

int lca(int x, int y) {
    while (top[x] != top[y]) {
        if (dep[top[x]] >= dep[top[y]]) x = fa[top[x]];
        else y = fa[top[y]];
    }
    if (dep[x] <= dep[y]) return x;
    return y;
}

复杂度分析

太难写了 Q^Q

依据重链的定义，每一条重链至少占了重链顶端结点所在的子树结点的\(logN\)个结点（一条链就占满了）

所以，剖分之后差不多是有\(logN\)条重链，所以每次询问至多跳\(logN\)次，所以……

初始化复杂度为O(N)(两次dfs)，查询复杂度为O(logN)

树链剖分拓展

看我的另一篇文章吧，太难写了，四千多个字呜啊