Solution -「COCI 2016-2017」 Mag 结论证明

结论：最多包含一个 \(2\)，并且不在链的两端点。

证明：我们问题分成两个 \(\texttt{pass}\)。

• \(\texttt{pass 1}\)：\(\forall u,s.t.x_{u}\ge2\)。

答案显然为 \(\min\{x_{u}\},u\in V\)。

• \(\texttt{pass 2}\)：\(\exists E'\subset E,s.t.x_{u}=1,u\in E'\wedge x_{v}\ge2,v \in E \setminus E\)。

• • 我们设我们选出的链为大概这样的造型：

\[1\rightarrow1\rightarrow\cdots\rightarrow X\rightarrow1\rightarrow1\cdots
\]

即一堆 \(1\) 中夹了一个 \(X\)。

我们设 \(X\) 左边有 \(l\) 个节点，右边有 \(r\) 个节点。

则价值为整条链 \(\frac{X}{l+r+1}\)，左边 \(\frac{1}{l}\)，右边 \(\frac{1}{r}\)。

为方便我们这里设 \(l<r\)。

那么左边的价值一定大于右边。

这里假设 \(\frac{1}{r}>\frac{X}{l+r+1}\)，则有 \(X<\frac{l+1}{r}+1\)，又 \(r\ge l+1\)，所以 \(\frac{l+1}{r}\le1\)。（假设反过来可以证伪。

所以有 \(X\le2\)。

又 \(X\neq1\)，所以 \(X=2\)。

• • 我们设我们选出的链为大概这样的造型：

\[1\rightarrow1\rightarrow\cdots\rightarrow X\rightarrow1\rightarrow\cdots\rightarrow1\rightarrow Y\rightarrow1\cdots
\]

即一堆 \(1\) 中夹了一个 \(X\) 一个 \(Y\)。

这里我们可以把 \(Y\) 以前当成 \(\texttt{pass 2}\) 的第一个类型，设其共有 \(N\) 个数。

那么假设我们加入 \(Y\) 更优，即有 \(\frac{XY}{N+1}<\frac{X}{N}\)，则有 \(NY<N+1\)，由于 \(Y\neq1\)，所以加入 \(Y\) 是更劣的。

然后此题就很水了。放个代码以供参考。

规定 \(dp[i]\) 表示以 \(i\) 为端点的除 \(i\) 外全为 \(1\) 的串。

\(dp2[i]\) 表示带一个 \(2\) 的 \(dp[i]\)。

\(ans[i]\) 表示过 \(i\) 的最长全 \(1\) 串。

\(ans2[i]\) 表示过 \(i\) 的最长的有一个 \(2\) 且不在端点上，其余全为为 \(1\) 的串。

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;

typedef long long LL;
inline LL Max(LL x, LL y) {return x > y ? x : y;}
inline LL Min(LL x, LL y) {return x < y ? x : y;}
const int MAXN = 1e6 + 5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const LL INf = 0x7f7f7f7f;
LL w[MAXN];
vector<int> mp[MAXN];
void Add_Edge(int u, int v) {
	mp[u].push_back(v);
	mp[v].push_back(u);
}
LL gcd(LL x, LL y) {
	if(!y)
		return x;
	return gcd(y, x % y);
}

LL dp[MAXN], dp2[MAXN], ans2[MAXN], ans[MAXN];
void dfs(int u, int fa) {
	if(w[u] == 1) {
		dp[u] = 1;
		ans2[u] = 1;
		ans[u] = 1;
	}
	for(int i = 0; i < mp[u].size(); i++) {
		int v = mp[u][i];
		if(v == fa)
			continue;
		dfs(v, u);
		if(w[u] == 1 || w[u] == 2) {
			if(w[u] == 2)
				ans2[u] = Max(ans2[u], dp[u] + dp[v]);
			if(w[u] == 1) {
				ans[u] = Max(ans[u], dp[u] + dp[v]);
				ans2[u] = Max(ans2[u], dp[u] + dp2[v]);
				ans2[u] = Max(ans2[u], dp2[u] + dp[v]);
			}
			dp[u] = Max(dp[u], dp[v] + 1);
			if(dp2[v] != -1)
				dp2[u] = Max(dp2[u], dp2[v] + 1);
		}
	}
	if(w[u] == 2) {
		dp2[u] = dp[u];
		dp[u] = 0;
	}
}

int main() {
//	freopen("P6287_4.in", "r", stdin);
	memset(dp2, -1, sizeof dp2);
	int n;
	scanf ("%d", &n);
	for(int i = 1; i < n; i++) {
		int u, v;
		scanf ("%d %d", &u, &v);
		Add_Edge(u, v);
	}
	LL mi = INF;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf ("%lld", &w[i]);
		mi = Min(mi, w[i]);
	}
	if(mi != 1) {
		printf("%d/1\n", mi);
		return 0;
	}
	dfs(1, -1);
	LL res = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		res = Max(res, ans2[i]);
	LL x_2 = 2, y_2 = res;
	LL t = gcd(x_2, y_2);
//	printf("%lld\n", res);
	x_2 /= t;
	y_2 /= t;
	double com2 = x_2 * 1.0 / y_2;
	if(!res)
		com2 = INf;
	res = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		res = Max(res, ans[i]);
//	printf("%lld\n", res);
	LL x_1 = 1, y_1 = res;
	double com1 = x_1 * 1.0 / y_1;
	if(!res)
		com1 = INf;
	if(com2 > com1)
		printf("%lld/%lld", x_1, y_1);
	else
		printf("%lld/%lld", x_2, y_2);
	return 0;
}