ZOJ 3329 One Person Game:期望dp【关于一个点成环——分离系数】
题目链接:http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3329
题意:
给你面数分别为k1,k2,k3的三个骰子。
给定a,b,c三个整数。
三个骰子每扔一次,若骰子朝上的点数分别为a,b,c,则分数清零,否则当前分数+=骰子点数之和。
当分数 > n时游戏结束。
问你扔骰子次数的期望。
题意:
表示状态:
dp[i] = rest steps
(当前分数为i时,剩余步数的期望)
找出答案:
ans = dp[0]
刚开始分数为0。
如何转移:
由于此题中可以由高分数转移到低分数,所以转移存在环。
一般有环dp用高斯消元做。
但是,此题的所有环都跟dp[0]有关,也就是说所有的转移都能写成形如 dp[i] = a[i]*dp[0] + b[i] 的形式(分离系数)。
那么求出a[0]和b[0]就可以行了,答案为dp[0] = b[0] / (1-a[0])。
(1)dp[i] = sigma(dp[i+k]*p[k]) + dp[0]*p[0] + 1 (原转移方程,p[i]为扔出点数为i的概率,p[0]为扔出(a,b,c)的概率)
(2)dp[i] = a[i]*dp[0] + b[i] (假设的)
将(2)代入(1):
dp[i] = sigma( (a[i+k]*dp[0] + b[i+k]) * p[k] ) + dp[0]*p[0] + 1
dp[i] = sigma( a[i+k]*dp[0]*p[k] + b[i+k]*p[k] ) + dp[0]*p[0] + 1
dp[i] = ( sigma(a[i+k]*p[k]) + p[0] )*dp[0] + sigma(b[i+k]*p[k]) + 1
系数对应相等:
a[i] = sigma(a[i+k]*p[k]) + p[0]
b[i] = sigma(b[i+k]*p[k]) + 1
递推求出a[i] & b[i]即可,求的时候要保证i <= n(有意义)。
dp[0] = b[0] / (1-a[0])。
AC Code:
// state expression:
// dp[i] = rest steps
// i: present score
//
// find the answer:
// ans = dp[0]
//
// transferring:
// 1) dp[i] = sigma(dp[i+k]*p[k]) + dp[0]*p[0] + 1
// 2) dp[i] = a[i]*dp[0] + b[i]
// ***solve:
// dp[i] = sigma( (a[i+k]*dp[0] + b[i+k]) * p[k] ) + dp[0]*p[0] + 1
// dp[i] = sigma( a[i+k]*dp[0]*p[k] + b[i+k]*p[k] ) + dp[0]*p[0] + 1
// dp[i] = ( sigma(a[i+k]*p[k]) + p[0] )*dp[0] + sigma(b[i+k]*p[k]) + 1
// ***result:
// a[i] = sigma(a[i+k]*p[k]) + p[0]
// b[i] = sigma(b[i+k]*p[k]) + 1
// ***run:
// cal a[i] & b[i]
// dp[0] = b[0] / (1-a[0])
//
// boundary:
// set a,b = 0
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 505
#define MAX_K 40 using namespace std; int n,t;
int k1,k2,k3;
int e1,e2,e3;
double p[MAX_K];
double a[MAX_N];
double b[MAX_N];
double dp[MAX_N]; void read()
{
cin>>n>>k1>>k2>>k3>>e1>>e2>>e3;
} void cal_pro()
{
memset(p,,sizeof(p));
p[]=1.0/(k1*k2*k3);
for(int i=;i<=k1;i++)
{
for(int j=;j<=k2;j++)
{
for(int k=;k<=k3;k++)
{
if(i!=e1 || j!=e2 || k!=e3)
{
p[i+j+k]+=p[];
}
}
}
}
} void cal_const()
{
memset(a,,sizeof(a));
memset(b,,sizeof(b));
for(int i=n;i>=;i--)
{
for(int k=;k<=k1+k2+k3;k++)
{
if(i+k>n) break;
a[i]+=a[i+k]*p[k];
b[i]+=b[i+k]*p[k];
}
a[i]+=p[];
b[i]+=1.0;
}
} void solve()
{
cal_pro();
cal_const();
dp[]=b[]/(1.0-a[]);
} void print()
{
printf("%.15f\n",dp[]);
} int main()
{
cin>>t;
while(t--)
{
read();
solve();
print();
}
}
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