【题解】Fence(单调队列)

【题解】Fence(单调队列)

POJ - 1821

题目大意

有\(k\)个粉刷匠，每个粉刷匠一定要粉刷某个位置\(S_i\)，一个粉刷匠可以粉刷至多\(l_i\)个位置(必须连续\(l_i\)互不相同)，一个粉刷匠粉刷一个位置要收\(p_i\)元，问怎么安排可以使得粉刷匠赚的钱最大。

\(dp(i,j)\)考虑了前\(i\)个人，考虑了前\(j\)个位置的最大值，转移是这样的:

\[dp(i,j)=\max\{\max\{dp(i-1,k)+(j-k)\times p_i\},dp(i-1,j),dp(i,j-1)\},k\in[j-l_i,s_i)
\]

按照讨论把第二个\(\max\)变一下

\[max\{dp(i-1,k)+(j-k)\times p_i\}=\max\{dp(i-1,k)-kp_i\}+jp_i
\]

现在问题就变成如何维护\(\max\{dp(i-1,k)-kp_i\}\)

单调队列就好了。注意一些细节：

• \(\max\{dp(i-1,j),dp(i,j-1)\}\) 要在转移完毕后继承。
• \(k\in [j-l_i,s_i)\)
• \(dp(0,\forall x)=dp(\forall x,0)=0\)(初始化)

目标:\(dp(k,n)\)。

//@winlere
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>

using namespace std;  typedef long long ll;
inline int qr(){
      register int ret=0,f=0;
      register char c=getchar();
      while(c<48||c>57)f|=c==45,c=getchar();
      while(c>=48&&c<=57) ret=ret*10+c-48,c=getchar();
      return f?-ret:ret;
}
const int maxn=1.6e4+5;
struct NODE{
      int l,p,s;
      NODE(){l=p=s=0;}
      inline void scan(){l=qr();p=qr();s=qr();}
      inline bool operator <(const NODE&a)const{return s<a.s;}
}data[101];
int dp[101][maxn];
int n,k;
deque < int > q;
int main(){
      n=qr();k=qr();
      memset(dp,0xcc,sizeof dp);
      memset(dp[0],0,sizeof dp[0]);
      for(register int t=1;t<=k;++t)
	    data[t].scan(),dp[t][0]=0;
      sort(data+1,data+k+1);
      for(register int t=1;t<=k;++t){
	    q.clear();q.push_back(0);
	    for(register int i=1;i<data[t].s;++i){
		  while(q.size()&&q.back()+data[t].l<data[t].s) q.pop_back();
		  while(q.size()&&(dp[t-1][q.front()]-q.front()*data[t].p<=dp[t-1][i]-i*data[t].p)) q.pop_front();
		  q.push_front(i);
	    }
	    for(register int i=data[t].s;i<=min(n,data[t].s+data[t].l-1);++i){
		  while(q.size()&&q.back()+data[t].l<i) q.pop_back();
		  if(q.size()) dp[t][i]=max(dp[t][i],dp[t-1][q.back()]+(i-q.back())*data[t].p);
	    }
	    for(register int i=1;i<=n;++i)
		  dp[t][i]=max(dp[t][i],max(dp[t-1][i],dp[t][i-1]));
      }
      cout<<dp[k][n]<<endl;
      return 0;
}