NOIp知识集合 By cellur925

基本算法

• 快速幂

 ll ksm(ll a,ll b)
 {
     ll ans=;
     while(b)
     {
         if(b&) ans=ans*a%p;
         b>>=;
         a=a*a%p;
     }
     return ans;
 } 

ksm

• 64位大整数乘法

 ll mul(ll a,ll b)
 {
     ll ans=;
     while(b)
     {
         if(b&) ans=(ans+a)%p;
         b>>=;
         a=a*%p;
     }
     return ans;
 }

mul

• 离散化

     for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),b[i]=a[i];
     sort(b+,b++n);
     int cnt=unique(b+,b++n)-(b+);
     for(int i=;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(b+,b+cnt+,a[i])-b; 

discrete

• 归并排序求逆序对

 void mergesort(int l,int r)
 {
     if(l==r) return ;
     int mid=(l+r)>>;
     mergesort(l,mid);
     mergesort(mid+,r);
     int i=l,j=mid+,k=l-;
     while(i<=mid&&j<=r)
     {
         if(a[i]<=a[j]) b[++k]=a[i],i++;
         else b[++k]=a[j],j++,(ans+=mid-i+)%=moder;
     }
     while(i<=mid) b[++k]=a[i],i++;
     while(j<=r) b[++k]=a[j],j++;
     for(int qwq=l;qwq<=r;qwq++) a[qwq]=b[qwq];
 }

mergesort

• 全排列

 void dfs(int x)
 {
     for(int i=;i<=n;i++)
         if(!vis[i])
         {
             seq[x]=i;
             vis[i]=;
             if(x==n) work();
             else dfs(x+);
             vis[i]=;
         }
 }

Permutation

• ST表

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>

 using namespace std;

 int n,m;
 int st[][];

 int sta(int l,int r)
 {
     int k=log2(r-l+);
     return max(st[l][k],st[r-(<<k)+][k]);
 }

 int main()
 {
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&st[i][]);
     for(int j=;j<=;j++)
         for(int i=;i+(<<j)-<=n;i++)
             st[i][j]=max(st[i][j-],st[i+(<<(j-))][j-]);
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         int l=,r=;
         scanf("%d%d",&l,&r);
         printf("%d\n",sta(l,r));
     }
     return ;
 }

ST Table

• 两种二分

 while(l<r)
 {
     int mid=(l+r)>>;
     if(check(mid)) r=mid;
     else l=mid+;
 }
 while(l<r)
 {
     int mid=(l+r+)>>;
     if(check(mid)) r=mid-;
     else l=mid;
 }

整数域二分

 double eps=1e-;
 while(l+eps<r)
 {
     double mid=(l+r)/;
     if(check(mid)) r=mid;
     else l=mid;
 }

实数域二分

• 康拓展开及其求逆 推荐文章

 void Recantor(ll x)
 {
     memset(vis,,sizeof(vis));
     x--;
     int j=;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         ll t=x/fac[n-i];
         for(j=;j<=n;j++)
             if(!vis[j])
             {
                 if(!t) break;
                 t--;
             }
         printf("%d ",j);
         vis[j]=;
         x%=fac[n-i];
     }
     printf("\n");
 }

 ll cantor()
 {
     ll ans=;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         int tot=;
         for(int j=i+;j<=n;j++)
             if(a[j]<a[i]) tot++;
         ans+=1ll*tot*fac[n-i];
     }
     return ans;
 }

Cantor&Recantor

其他算法

• 莫队算法（不带修）

 bool cmp(query a,query b)
 {
     return (a.l/block)^(b.l/block) ? a.l<b.l : (((a.l/block)&) ? a.r<b.r : a.r>b.r);
 }//奇偶块排序

     block=sqrt(n);
     for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&seq[i]);
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         scanf("%d%d",&ask[i].l,&ask[i].r);
         ask[i].id=i;
         ask[i].in=ask[i].l/block;
     }
     sort(ask+,ask++m,cmp);
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         int l=ask[i].l,r=ask[i].r;
         while(posl<l) remove(posl++);
         while(posr>r) remove(posr--);
         while(posl>l) add(--posl);
         while(posr<r) add(++posr);
         ans[ask[i].id]=noww;
     }
     for(int i=;i<=m;i++) printf("%d\n",ans[i]);

Mo's Algorithm

数学

• 预处理阶乘和处理逆元求组合数

 ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
 {
     if(b==)
     {
           x=;
           y=;
           return a;
     }
     int gu=exgcd(b,a%b,x,y);
     int t=x;
     x=y;
     y=t-a/b*y;
     return gu;  

 }

 ll niyuan(ll hu)
 {
     x=,y=;
     ll tmp=exgcd(hu,p,x,y);
     return (x+p)%p;
 }

 ll C(ll k,ll m)
 {
     ll up=fac[k]%p;
     ll down=fac[m]%p*fac[k-m]%p;
     ll ans=up*niyuan(down)%p;
     return ans;
 }

 void pre()
 {
     fac[]=;
     for(int i=;i<=n+;i++)
         fac[i]=(ll)fac[i-]*i%p;
 }

Combination

• 杨辉三角求组合数

     C[][]=;C[][]=;
     for(int i=;i<=n;i++) C[i][]=,C[i][i]=;
     for(int i=;i<=n;i++)
         for(int j=;j<=i;j++)
             (C[i][j]=C[i-][j]+C[i-][j-])%=moder;

Yang's triangle

数据结构

• $vector$实现普通平衡树 慎用！！！

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<vector>

 using namespace std;

 int n;
 vector<int>v;

 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         int op=,x=;
         scanf("%d%d",&op,&x);
         if(op==) v.insert(upper_bound(v.begin(),v.end(),x),x);
         else if(op==) v.erase(lower_bound(v.begin(),v.end(),x));
         else if(op==) printf("%d\n",lower_bound(v.begin(),v.end(),x)-v.begin()+);
         else if(op==) printf("%d\n",v[x-]);
         else if(op==) printf("%d\n",*--lower_bound(v.begin(),v.end(),x));
         else if(op==) printf("%d\n",*upper_bound(v.begin(),v.end(),x));
     }
     return ;
 }
 /*
 您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一些数，其中需要提供以下操作：
 1. 插入x数
 2. 删除x数(若有多个相同的数，因只删除一个)
 3. 查询x数的排名(若有多个相同的数，因输出最小的排名)
 4. 查询排名为x的数
 5. 求x的前驱(前驱定义为小于x，且最大的数)
 6. 求x的后继(后继定义为大于x，且最小的数)
 */

Balanced Tree By vector

图论

• Floyd算法。复杂度$O(n^3)$

     memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
     for(int i=;i<=v;i++) dis[i][i]=,dis[][i]=;//这一步很重要
     for(int i=;i<=e;i++)
     {
         int x=,y=,z=;
         scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
         dis[x][y]=min(dis[x][y],z);
         dis[y][x]=min(dis[y][x],z);
     }
     for(int kk=;kk<=v;kk++)
         for(int i=;i<=v;i++)
             for(int j=;j<=v;j++)
                 dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][kk]+dis[kk][j]);

floyd

• Dijkstra+堆优化。复杂度$O(mlogn)$。稠密图优。好像不能用来跑最长路诶（

 void dijkstra()
 {
     priority_queue<pair<int,int> >q;
     memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
     dis[s]=;q.push(make_pair(,s));
     while(!q.empty())
     {
         int u=q.top().second;q.pop();
         if(vis[u]) continue;
         vis[u]=;
         for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
         {
             int v=edge[i].to;
             if(dis[v]>dis[u]+edge[i].val)
             {
                 dis[v]=dis[u]+edge[i].val;
                 q.push(make_pair(-dis[v],v));
             }
         }
     }
 }

Dijkstra+Heap

• spfa过世算法复杂度理解为$O(nm)$。但稀疏图$O(km)$。

 void spfa()
 {
     memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
     queue<int>q;
     q.push(s),vis[s]=,dis[s]=;
     while(!q.empty())
     {
         int u=q.front();q.pop();
         vis[u]=;
         for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
         {
             int v=edge[i].to;
             if(dis[v]>dis[u]+edge[i].val)
             {
                 dis[v]=dis[u]+edge[i].val;
                 if(!vis[v]) q.push(v),vis[v]=;
             }
         }
     }
 }

spfa

• 判断树上两路径是否相交

*　　题目：LuoguP3398仓鼠找sugar / 计蒜客NOIP提高组模拟一试T2 敌对势力 / hihocoder 11D（题目找不到了==可以看这位dalao的博客）

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<queue>
 #include<cmath>
 #define maxn 100090 

 using namespace std;

 int n,m,tot,t;
 int head[maxn],d[maxn],f[maxn][];
 struct node{
     int to,next;
 }edge[maxn*];

 void add(int x,int y)
 {
     edge[++tot].to=y;
     edge[tot].next=head[x];
     head[x]=tot;
 }

 void LCA_prework()
 {
     queue<int>q;
     q.push();d[]=;
     while(!q.empty())
     {
         int u=q.front();q.pop();
         for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
         {
             int v=edge[i].to;
             if(d[v]) continue;
             d[v]=d[u]+;
             f[v][]=u;
             for(int j=;j<=t;j++)
                 f[v][j]=f[f[v][j-]][j-];
             q.push(v);
         }
     }
 }

 int LCA(int x,int y)
 {
     if(d[x]>d[y]) swap(x,y);
     for(int i=t;i>=;i--)
         if(d[f[y][i]]>=d[x]) y=f[y][i];
     if(x==y) return x;
     for(int i=t;i>=;i--)
         if(f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];
     return f[x][];
 }

 int main()
 {
     scanf("%d%d",&n,&m);
     t=log2(n)+;
     for(int i=;i<=n-;i++)
     {
         int x=,y=;
         scanf("%d%d",&x,&y);
         add(x,y);add(y,x);
     }
     LCA_prework();
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         int a=,b=,c=,e=;
         scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&e);
         int Chemist=LCA(a,b);
         int cellur=LCA(c,e);
         if(Chemist==cellur)
         {
             printf("NO\n");
             continue;
         }
         if(d[Chemist]>d[cellur])
         {
             if(LCA(Chemist,c)==Chemist||LCA(Chemist,e)==Chemist)
             {
                 printf("NO\n");
                 continue;
             }
             else
             {//没有相交输出yes
                 printf("YES\n");
                 continue;
             }
         }
         else
         {
             if(LCA(cellur,a)==cellur||LCA(cellur,b)==cellur)
             {
                 printf("NO\n");
                 continue;
             }
             else
             {
                 printf("YES\n");
                 continue;
             }
         }
     }

     return ;
 }

• 最短路计数

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>

using namespace std;
typedef long long ll;

int n,m,fake;
int vis[],dis[];
ll f[];
int e[][];

void spfa()
{
    memset(dis,,sizeof(dis));
    fake=dis[];
    queue<int>q;
    q.push();vis[]=;dis[]=;f[]=;
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();q.pop();
        vis[u]=;
        if(u==n) continue;
        for(int i=;i<=n;i++)
        {
            if(dis[i]==dis[u]+e[u][i])
                f[i]+=f[u];
            if(dis[i]>dis[u]+e[u][i])
            {
                dis[i]=dis[u]+e[u][i];
                f[i]=f[u];
            }
            if(f[i]&&!vis[i]) vis[i]=,q.push(i);
        }
        f[u]=;
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(e,,sizeof(e));
    for(int i=;i<=m;i++)
    {
        int x=,y=,z=;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        e[x][y]=min(e[x][y],z);
    }
    spfa();
    if(fake==dis[n]) printf("No answer");
    else printf("%d %lld",dis[n],f[n]);
    return ;
}

以上是过世算法$spfa$，现在我来为大家表演一下$dijkstra$。（搬运逛公园的30部分分）dij不用清空，非常优秀。

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<queue>
 #include<cstring>
 #define maxn 100090

 using namespace std;
 typedef long long ll;

 int T,n,m,k,tot;
 int head[maxn];
 bool vis[maxn];
 ll moder,f[maxn],dis[maxn];
 struct node{
     int to,next,val;
 }edge[maxn<<];

 void add(int x,int y,int z)
 {
     edge[++tot].to=y;
     edge[tot].next=head[x];
     head[x]=tot;
     edge[tot].val=z;
 }

 void Clear()
 {
     tot=;
     memset(head,,sizeof(head));
     memset(vis,,sizeof(vis));
     memset(f,,sizeof(f));
 }

 void dijkstra()
 {
     priority_queue<pair<ll,int> >q;
     for(int i=;i<=n;i++) dis[i]=3e9;
     q.push(make_pair(,));dis[]=;f[]=;
     while(!q.empty())
     {
         int u=q.top().second;q.pop();
         if(vis[u]) continue;
         vis[u]=;
         for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
         {
             int v=edge[i].to;
             if(dis[v]>dis[u]+edge[i].val)
             {
                 dis[v]=dis[u]+edge[i].val;
                 q.push(make_pair(-dis[v],v));
                 (f[v]=f[u])%=moder;
             }
             else if(dis[v]==dis[u]+edge[i].val)
                 (f[v]+=f[u])%=moder;
         }
     }
 }

 int main()
 {
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         scanf("%d%d%d%lld",&n,&m,&k,&moder);
         for(int i=;i<=m;i++)
         {
             int x=,y=,z=;
             scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
             add(x,y,z);
         }
         dijkstra();
     //    if(dis[n]==3e9) printf("-1");
         printf("%lld\n",f[n]);
         //for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld ",dis[i]);
         Clear();
     }
     return ;
 }

Counting

• kruskal算法求最小生成树：基于边。比较好理解，先对所有边进行排序，用并查集维护联通关系。复杂度为$O(mlogm)$。（其实不用找到n-1条边就退出...）

 /*
 最小生成树Kruskal算法
 快排权值+并查集看是否连通
 */
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>

 using namespace std;

 int n,m,cnt,ans;
 int fa[];
 struct node{
     int f,t,w;
 }edge[];

 bool cmp(node a,node b)
 {
     return a.w<b.w;
 }

 int getf(int x)
 {
     if(x==fa[x]) return x;
     return fa[x]=getf(fa[x]);
 }

 int main()
 {
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(int i=;i<=m;i++)
         scanf("%d%d%d",&edge[i].f,&edge[i].t,&edge[i].w);
     for(int i=;i<=n;i++) fa[i]=i;
     sort(edge+,edge++m,cmp);
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         if(cnt==n-) break;
         int pp=getf(edge[i].f);
         int qq=getf(edge[i].t);
         if(pp==qq) continue;
         fa[qq]=pp;
         cnt++;
         ans+=edge[i].w;
     }
     if(cnt<n-) printf("orz");
     else printf("%d\n",ans);
     return ;
 }

Kruskal

• Prim算法求最小生成树：基于点，逐步扩展。随便找一个点作为起点，设$dis$为添加了这个点需要增加的边权，然后每次在尚未被进入生成树的节点中寻找最小的$dis$，记录它的位置，这一次就把他加入生成树，并更新其他点的$dis$。复杂度$O(n^2)$。注意是否$vis$。

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #define maxn 5090

 using namespace std;
 typedef long long ll;

 int n,m,tot;
 ll ans;
 int head[maxn],dis[maxn],vis[maxn];
 struct node{
     int to,next,val;
 }edge[];

 void add(int x,int y,int z)
 {
     edge[++tot].to=y;
     edge[tot].next=head[x];
     head[x]=tot;
     edge[tot].val=z;
 }

 void prim()
 {
     memset(dis,,sizeof(dis));
     dis[]=;
     for(int k=;k<=n;k++)
     {
         int u=-,sta=0x3f3f3f3f;
         for(int i=;i<=n;i++)
             if(dis[i]<sta&&!vis[i]) sta=dis[i],u=i;
         if(u==-) {printf("orz\n");exit();}
         ans+=dis[u];
         vis[u]=;
         for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
         {
             int v=edge[i].to;
             if(vis[v]) continue;
             dis[v]=min(dis[v],edge[i].val);
         }
     }
 }

 int main()
 {
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         int x=,y=,z=;
         scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
         add(x,y,z);add(y,x,z);
     }
     prim();
     printf("%d\n",ans);
     return ;
 } 

Prim

• 树的直径方法一：两遍bfs/dfs【不能处理有负权边情况】【记录路径】

 int bfs(int x)
 {
     queue<int>q;
     memset(d,0x3f,sizeof(d));
     memset(pre,,sizeof(pre));
     fake=d[];
     q.push(x);d[x]=;
     while(!q.empty())
     {
         int u=q.front();q.pop();
         for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
         {
             int v=edge[i].to;
             if(d[v]==fake) q.push(v),pre[v]=i,d[v]=d[u]+;
         }
     }
     int top=x;
     for(int i=;i<=n;i++)
         if(d[i]>d[top]) top=i;
     return top;
 }
 int get_d()
 {
     p=bfs();
     p=bfs(p);
     return d[p];
 }

Tree's Diameter/BFS

• 树的直径方法二：树形dp

 void Treedp(int u)
 {
     vis[u]=;
     for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
     {
         int v=edge[i].to;
         if(vis[v]) continue;
         Treedp(v);
         ans=max(ans,f[x]+f[y]+edge[i].val)
         f[x]=max(f[x],f[y]+edge[i].val);
     }
 }

Tree's Diameter/Treedp

• 强连通分量/缩点（in有向图）

 void tarjan(int u)
 {
     dfn[u]=low[u]=++dfs_clock;
     st.push(u);
     for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
     {
         int v=edge[i].to;
         if(!dfn[v])
         {
             tarjan(v);
             low[u]=min(low[u],low[v]);
         }
         else if(!scc[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
     }
     if(low[u]==dfn[u])
     {
         scc_cnt++;
         while()
         {
             int x=st.top();st.pop();
             scc[x]=scc_cnt;
             if(x==u) break;
         }
     }
 }
 —————————————————————————————————————
     for(int i=;i<=n;i++)//在主程序中
         if(!dfn[i]) tarjan(i);
     for(int x=;x<=n;x++)
         for(int i=head[x];i;i=edge[i].next)
         {
             int y=edge[i].to;
             if(scc[x]!=scc[y])
                 ADD(scc[x],scc[y]);
         }

tarjan1

• 树上倍增求LCA

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<queue>
 #include<cmath>
 #define maxn 500090

 using namespace std;

 int n,m,s,tot,t;
 int d[maxn],head[maxn],f[maxn][];
 struct node{
     int to,next;
 }edge[maxn<<];

 void add(int x,int y)
 {
     edge[++tot].to=y;
     edge[tot].next=head[x];
     head[x]=tot;
 }

 void init()
 {
     queue<int>q;
     q.push(s);d[s]=;
     while(!q.empty())
     {
         int u=q.front();q.pop();
         for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
         {
             int v=edge[i].to;
             if(d[v]) continue;
             d[v]=d[u]+;
             f[v][]=u;
             for(int j=;j<=t;j++)
                 f[v][j]=f[f[v][j-]][j-];
             q.push(v);
         }
     }
 }

 int lca(int x,int y)
 {
     if(d[x]<d[y]) swap(x,y);
     for(int i=t;i>=;i--)
         if(d[f[x][i]]>=d[y]) x=f[x][i];
     if(x==y) return x;
     for(int i=t;i>=;i--)
         if(f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];
     return f[x][];
 }

 int main()
 {
     scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
     t=log2(n)+;
     for(int i=;i<=n-;i++)
     {
         int x=,y=;
         scanf("%d%d",&x,&y);
         add(x,y),add(y,x);
     }
     init();
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         int x=,y=;
         scanf("%d%d",&x,&y);
         printf("%d\n",lca(x,y));
     }
     return ;
 } 

LCA

字符串

• $trie$树

 tot=;
 void insert()
 {
     int p=;
     int len=strlen(tmp+);
     for(int i=;i<=len;i++)
     {
         int qwq=tmp[i]-'';
         if(!trie[p][qwq]) trie[p][qwq]=++tot;
         p=trie[p][qwq];
     }
 }

trie--insert

• 最小表示法

 void work()
 {
     n=strlen(str+);ans=;
     for(int i=;i<=n;i++) str[n+i]=str[i];
     int i=,j=,k;
     while(i<=n&&j<=n)
     {
         for(k=;k<=n&&str[i+k]==str[j+k];k++);
         if(k>=n) break;
         if(str[i+k]>str[j+k])
         {i=i+k+;if(i==j) i++;}
         else
         {j=j+k+;if(i==j) j++;}
     }
     ans=min(i,j);
     printf("%d\n",ans);
 }
 //注意数组开二倍+

Minimal Expression

其他技巧

• 编译命令：-Wshadow -Wconversion  -Wextra / 打开wall警告开关
• 简单重载运算符：https://www.cnblogs.com/nopartyfoucaodong/p/9734314.html
• 更多有关$lowerbound$和$upperbound$：https://www.cnblogs.com/nopartyfoucaodong/p/9818967.html
• 生成数据前，一定要记得调用种子！！即（在挂文件后）

srand(time(NULL));

• 生成数据的批处理文件（$bat$）

 @echo off
 :loop

 rand.exe

 baoli.exe

 sol.exe

 fc baoli.out sol.out

 if not errorlevel  goto loop

 pause 

 goto loop

dp.bat

• 生成数据

 int random(int lim)
 {
     return (unsigned long long)rand()*rand()%lim;
 }

 调用时：int x=random()+;

rand

看到小数据范围：暴搜 全排列 二进制枚举  状压

$O(n^3)$：考虑枚举区间？