HDU 3501【欧拉函数拓展】

欧拉函数

欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n) 。

通式：φ(x)=x*(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)*(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。

对于质数p，φ(p) = p - 1。注意φ(1)=1.

欧拉定理：对于互质的正整数a和n，有aφ(n) ≡ 1 mod n。

欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)

欧拉函数还有这样的性质：

设a为N的质因数，

若(N % a == 0 && (N / a) % a == 0) 则有E(N)=E(N / a) * a；

若(N % a == 0 && (N / a) % a != 0) 则有：E(N) = E(N / a) * (a - 1)。

欧拉公式的延伸：一个数的所有质因子之和是euler(n)*n/2。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL mod=1e9+7;

LL eluer(LL n)
{
    LL res=n,a=n;
    for(LL i=2;i*i<=a;i++)
    {
        if(a%i==0)
        {
            res=res/i*(i-1);
            while(a%i==0)
                a/=i;
        }
    }
    if(a>1) res=res/a*(a-1);
    return res;
}

int main()
{
    LL n,ans;
    while(~scanf("%lld",&n)&&n)
    {
        ans=n*(n+1)/2-n;
        ans=(ans-eluer(n)*n/2)%mod;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}