洛谷P2606 [ZJOI2010]排列计数(组合数 dp)

题意

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称一个1,2,...,N的排列P1,P2...,Pn是Magic的，当且仅当2<=i<=N时，Pi>Pi/2. 计算1，2，...N的排列中有多少是Magic的，答案可能很大，只能输出模P以后的值

Sol

这辈子做不出的计数系列。

一眼小根堆没啥好说的。最关键的一点是：树的形态是可以递推出来的。

那么当前点$i$为根节点，大小为$siz[i]$，左/右儿子分别为$ls, rs$

那么$f[i] = C_{siz[i] - 1}^{siz[ls]} f[ls] \times f[rs]$

Lucas定理算组合数

#include<cstdio>
//#define int long long
using namespace std;
const int MAXN = 1e6 + ;
inline int read() {
    char c = getchar(); int x = , f = ;
    while(c < '' || c > '') {if(c == '-') f = -; c = getchar();}
    while(c >= '' && c <= '') x = x *  + c - '', c = getchar();
    return x * f;
}
int N, P, fac[MAXN] = {}, ifac[MAXN], siz[MAXN], f[MAXN];
int fastpow(int a, int p, int mod) {
    int base = ;
    while(p) {
        if(p & ) base = (1ll * base % mod * a % mod) % mod;
        a = (1ll * a % mod * a % mod) % mod; p >>= ;
    }
    return base % mod;
}
int C(int N, int M, int P) {
    if(M > N) return ;
    return 1ll * fac[N] % P * ifac[M] % P * ifac[N - M] % P;
}
int Lucas(int N, int M, int P) {
    if(!N || !M) return ;
    return Lucas(N / P, M / P, P) * C(N % P, M % P, P);
}
main() {
    N = read(); P = read();
    for(int i = ; i <= N; i++) fac[i] = 1ll * i * fac[i - ] % P;
    ifac[N] = fastpow(fac[N], P - , P);
    for(int i = N; i >= ; i--) ifac[i - ] = 1ll * i * ifac[i] % P;
    for(int i = N; i >= ; i--) {
        siz[i] = ;
        int ls = (i << ), rs = (i <<  | );
        if(rs <= N) siz[i] += siz[ls] + siz[rs], f[i] = 1ll * Lucas(siz[i] - , siz[ls], P) * f[ls] % P * f[rs] % P;
        else if(ls <= N) siz[i] += siz[ls], f[i] = f[ls];
        else f[i] = ;
    }
    printf("%d", f[]);
    return ;
}
/*
999999 1000000007
*/