hihoCoder #1157 建造金字塔

这道题我想了一天才想清楚做法。AC 了之后去看别人写的题解，都是三言两语意识流式描述，我并不能读懂。我觉得很自卑，为何人家解这道题如此轻松。不过，我还是决定把我的解法写下来，并且一定要写清楚。

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思路

我想多数人见到这个题目的想法都是：先按照某种方式对三角形排序，再设法 DP 。大方向确实如此。我的做法是：「以三角形底边的右端点坐标为第一关键字从小到大，以三角形底边的左端点坐标为第二关键字从大到小」排序。记排序后的 $n$ 个三角形为：$T_1, T_2, \dots, T_n$ ，如此排序使得：

1. 所有被 $T_i$ 覆盖且不与 $T_i$ 重合的三角形都排在 $T_i$ 前面
2. 设 $0 \le k< j < i \le n$ 且 $T_j \not\subseteq T_i, T_k \not\subseteq T_i$ 那么 $(T_k \cap T_{i}) \subseteq (T_j \cap T_i)$

我不清楚是否还有别的排序方法也能满足上面两个条件，不过其他排序方法只要满足上述两性质，都可进而采用下面要讲的 DP 方法。

DP 状态 $\DeclareMathOperator{\DP}{DP}$

$\DP_i$ 表示「只在前 $i$ 个金字塔（即三角形）中选择一些建造并且一定建造第 $i$ 座金字塔，所能获得的最大收益」。

边界条件

为了方便我们定义第 $0$ 座金字塔为 $(-\infty, 0, 0)$ 。
边界条件为 $\DP_0 = 0$ 。

转移方程

$$
\DP_i = \max \left\{ \DP_j + \sum_{j< k< i, T_k \subseteq T_i} T_k.w + T_i.w - \left | T_i \right | + \left| T_j \cap T_i\right|\right\} \quad (0 \le j <i, T_j \not\subseteq T_i)
$$

$\left| T \right|$ 表示（等腰直角）三角形 $T$ 的 面积。

复杂度 $O(N^2)$ 。

这就是我的思路，当然还可以做一些小优化。代码就不贴了，我的目标是把思路说清楚，思路清楚了，代码并不难写。

总结

这道题目应当算作简单题，虽然我解得并不轻松。这个问题中，三角形其实可以简化为底边所表示的线段，设底边长为 $l$，则三角行面积 $s$ 可表为 $s = s(l) =l^2/4$ 。这个问题可一般化为：给定若干条 $x$ 轴上的线段，每条线段有一个收益值，另外给出一个成本函数 $cost(l)$ 。其他部分和原具体问题相似，不赘述。