Y Combinator

常见的例子

阶乘函数：

fact = (a) -> if a > 0 then a * fact(a - 1) else 1

问题的提出

如上，在fact函数中调用了fact本身，无法使用匿名函数表达，如何解决这一问题？

初步的尝试

初始的f：

f = (a) -> if a > 0 then a * f(a - 1) else 1

第一步，去除自身的递归调用：

f1 = (a) -> if a > 0 then a * f(a - 1) else 1

第二步，f1调用了f，将f提出，使得f'只依赖于输入：

f' = (f) -> (a) -> if a > 0 then a * f(a - 1) else 1

第三步，将f代入：

f' f = f

数学中，f(x)=x，此时x为f(x)的不动点；

同样的，f'(f)=f，此时f为f'的不动点。

此时，f(x)=f'(f(x))，接下来就是求f'。

进一步探索

当前的问题：求f'

令f=Y f'，求解f与f'之间的关系。

这时有：

f = Y f'

进而有：

f = f' f = Y f' = f' Y f'

得出：

Y = f -> f Y f

故而我们需要求出Y组合子(Y Combinator)。

Y组合子

现成的Y组合子：

Y = f -> (x -> f x x) (x -> f x x)

证明：

Y g = (x -> g x x) (x -> g x x)

      = (x -> g x x) (x -> g x x)

      = g (x -> g x x) (x -> g x x)

      = g Y g

其他组合子：

Z = f -> (x -> f (y -> x x y)) (x -> f (y -> x x y))

Y' = (x -> y -> x y x) (y -> x -> y x y x)

Θ = (x -> y -> y x x y) (x -> y -> y x x y)

问题的解决

对阶乘函数fact：

fact = (f) -> (a) -> if a > 0 then a * f(a - 1) else 1

有：

Y fact = fact Y fact

          = (a) -> if a > 0 then a * (Y fact)(a - 1) else 1

这样，Y fact实现了和阶乘函数一样的功能。

可以写出：

fact = ((f) -> ((x) -> (n) -> (f x x)(n)) ((x) -> (n) -> (f x x)(n))) (f) -> (a) -> if a > 0 then a * f(a - 1) else 1

JS调用fact(5)：

(function(f) {
    return (function(h) {
        return h(h)
    })(function(x) {
        return function(n) {
            return f(x(x))(n)
        }
    })
})(function(f) {
    return function(n) {
        return n > 0 ? n * f(n - 1) : 1
    }
})(5)

总结

综上可知，匿名函数可写成Y(f)，f的类型为f->TInput->TResult，则Y的类型为(f->TInput->TResult)->TInput->TResult。