算法笔记--最大流和最小割 && 最小费用最大流 && 上下界网络流
最大流:
给定指定的一个有向图,其中有两个特殊的点源S(Sources)和汇T(Sinks),每条边有指定的容量(Capacity),求满足条件的从S到T的最大流(MaxFlow)。
最小割:
割是网络中定点的一个划分,它把网络中的所有顶点划分成两个顶点集合S和T,其中源点s∈S,汇点t∈T,从S出发指向T的边的集合,称为割(S,T),这些边的容量之和称为割的容量。容量最小的割称为最小割。
根据最大流最小割定理,最大流等于最小割。
其他:
求最小割边的个数的方法:
①建边的时候每条边权 w = w * (E + 1) + 1;这样得到最大流 maxflow / (E + 1) ,最少割边数 maxflow % (E + 1)
②建图,得到最大流后,图中边若满流,说明该边是最小割上的边;再建图,原则:满流的边改为容量为 1 的边,未满流的边改为容量 INF 的边,然后最大流即答案
Ford-Fulkerson算法模板:
const int INF = 0x7f7f7f7f;
struct edge {
int to, w, rev;
};
vector<edge> g[N];
bool vis[];
void add_edge(int from, int to, int w) {
g[from].pb((edge){to, w, g[to].size()});
g[to].pb((edge){from, , g[from].size()-});
}
//通过dfs寻找增广路
int dfs(int u, int t,int f) {
if (u == t) return f;
vis[u] = true;
for (int i = ; i < g[u].size(); i++) {
edge &e = g[u][i];
if(!vis[e.to] && e.w > ) {
int d = dfs(e.to, t, min(f, e.w));
if(d > ) {
e.w -= d;
g[e.to][e.rev].w += d;
return d;
}
}
}
return ;
}
int max_flow(int s, int t) {
int flow = ;
while(true) {
mem(vis, false);
int f = dfs(s, t, INF);
if (f == ) return flow;
flow += f;
}
return flow;
}
Dinic算法+弧优化模板:
const int INF = 0x7f7f7f7f;
int level[N], iter[N];
struct edge {
int to, w, rev;
};
vector<edge>g[N];
void add_edge(int u, int v, int w) {
g[u].pb(edge{v, w, g[v].size()});
g[v].pb(edge{u, , g[u].size()-});
}
void bfs(int s) {
mem(level, -);
queue<int>q;
level[s] = ;
q.push(s);
while (!q.empty()) {
int u = q.front();
q.pop();
for (int i = ; i < g[u].size(); i++) {
edge e = g[u][i];
if(e.w > && level[e.to] < ) {
level[e.to] = level[u] + ;
q.push(e.to); }
}
}
}
int dfs(int u, int t, int f) {
if(u == t ) return f;
for (int &i = iter[u]; i < g[u].size(); i++) {
edge &e = g[u][i];
if(e.w > && level[u] < level[e.to]) {
int d = dfs(e.to, t, min(f, e.w));
if(d > ) {
e.w -= d;
g[e.to][e.rev].w +=d;
return d;
}
}
}
return ;
}
int max_flow(int s, int t) {
int flow = ;
while(true) {
bfs(s);
if(level[t] < ) return flow;
int f;
mem(iter, );
while ((f = dfs(s, t, INF)) > ) {
flow += f;
}
}
}
建图:把每头牛拆成两个,然后之间建一条容量为1的边,然后把food和drink分别放在牛的两边,分别和牛建容量为1的边,然后再在food和drink左右两边分别加一个源点s和汇点t。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
#define pb push_back
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a)) const int N = ;
const int INF = 0x7f7f7f7f;
struct edge {
int to, w, rev;
};
vector<edge> g[N];
bool vis[];
void add_edge(int from, int to, int w) {
g[from].pb((edge){to, w, g[to].size()});
g[to].pb((edge){from, , g[from].size()-});
}
int dfs(int u, int t,int f) {
if (u == t) return f;
vis[u] = true;
for (int i = ; i < g[u].size(); i++) {
edge &e = g[u][i];
if(!vis[e.to] && e.w > ) {
int d = dfs(e.to, t, min(f, e.w));
if(d > ) {
e.w -= d;
g[e.to][e.rev].w += d;
return d;
}
}
}
return ;
}
int max_flow(int s, int t) {
int flow = ;
while(true) {
mem(vis, false);
int f = dfs(s, t, INF);
if (f == ) return flow;
flow += f;
}
return flow;
}
int main() {
int n, f, d, t, _t, u;
scanf("%d%d%d", &n, &f, &d);
for (int i = ; i <= n; i++) {
add_edge(i, i+n, );
}
for (int i = ; i <= n; i++) {
scanf("%d%d", &t, &_t);
while(t--) {
scanf("%d", &u);
add_edge(u+*n, i, );
}
while(_t--) {
scanf("%d", &u);
add_edge(i+n, u+*n+f, );
}
}
for (int i = ; i <= f; i++) {
add_edge(, i+*n, );
}
for (int i = ; i <= d; i++) {
add_edge(i+*n+f, , );
}
printf("%d\n", max_flow(, ));
return ;
}
建图:把每台设备拆成两个,然后之间建一条容量为设备操作台数的边,然后在所有的input里找没有1的设备,与源点s相连,在所有的output里找没有0的设备,与汇点t相连。然后设备之间如果input和output能匹配,就相连。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
#define pb push_back
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a)) const int N = ;
const int INF = 0x7f7f7f7f;
int level[N*], iter[N*], in[N][], out[N][];
bool vis[N][N];
struct edge {
int to, w, rev;
};
struct node {
int x, y, z;
}res[N*N];
vector<edge>g[N*];
void add_edge(int u, int v, int w) {
g[u].pb(edge{v, w, g[v].size()});
g[v].pb(edge{u, , g[u].size()-});
}
void bfs(int s) {
mem(level, -);
queue<int>q;
level[s] = ;
q.push(s);
while (!q.empty()) {
int u = q.front();
q.pop();
for (int i = ; i < g[u].size(); i++) {
edge e = g[u][i];
if(e.w > && level[e.to] < ) {
level[e.to] = level[u] + ;
q.push(e.to); }
}
}
}
int dfs(int u, int t, int f) {
if(u == t ) return f;
for (int &i = iter[u]; i < g[u].size(); i++) {
edge &e = g[u][i];
if(e.w > && level[u] < level[e.to]) {
int d = dfs(e.to, t, min(f, e.w));
if(d > ) {
e.w -= d;
g[e.to][e.rev].w +=d;
return d;
}
}
}
return ;
}
int max_flow(int s, int t) {
int flow = ;
while(true) {
bfs(s);
if(level[t] < ) return flow;
int f;
mem(iter, );
while ((f = dfs(s, t, INF)) > ) {
flow += f;
}
}
}
int main() {
int p, n, w;
while(~ scanf("%d%d", &p, &n)) {
for (int i = ; i < N*; i++) g[i].clear();
mem(vis, false);
for (int i = ; i <= n; i++) {
scanf("%d", &w);
add_edge(i, i+n, w);
for (int j = ; j <= p; j++) scanf("%d", &in[i][j]);
for (int j = ; j <= p; j++) scanf("%d", &out[i][j]);
}
for (int i = ; i <= n; i++) {
bool f = true, _f = true;
for (int j = ; j <= p; j++) if(in[i][j] == ) f = false;
for (int j = ; j <= p; j++) if(!out[i][j]) _f = false;
if(f) add_edge(, i, INF);
if(_f) add_edge(i+n, , INF);
for (int j = i + ; j <= n; j++) {
bool f = true, _f = true;
for (int k = ; k <= p; k++) {
if(in[j][k] == );
else {
if(out[i][k] != in[j][k]) f = false;
}
if(in[i][k] == );
else {
if(out[j][k] != in[i][k]) _f = false;
}
}
if(f) add_edge(i+n, j, INF), vis[i][j] = true;
if(_f) add_edge(j+n, i, INF), vis[j][i] = true;
}
}
int ans = max_flow(, );
int cnt = ;
for (int i = ; i <= n; i++) {
if(g[i].size() == )continue;
for (int j = ; j < g[i].size(); j++) {
if(g[i][j].to == || g[i][j].to == || g[i][j].to == i+n || g[i][j].to <= n ) continue;
if( < g[i][j].w && vis[g[i][j].to-n][i]) {
res[++cnt].x = g[i][j].to - n;
res[cnt].y = i;
res[cnt].z = g[i][j].w;
}
}
}
printf("%d %d\n", ans, cnt);
for (int i = ; i <= cnt; i++) printf("%d %d %d\n", res[i].x, res[i].y, res[i].z);
}
return ;
}
最小费用最大流:
坑
详见挑战程序设计
上下界网络流:
https://www.cnblogs.com/NineSwords/p/9415962.html
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