DFA与动态规划

1.牛客练习赛45 A

给定字符串, 求字符不相邻的"QAQ"子序列个数.

$dp[i][0]$ 只匹配一个'Q'的方案数的前缀和.

$dp[i][1]$ 只匹配"QA"的方案数的前缀和.

$dp[i][2]$ 匹配完成的方案数的前缀和.

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string.h>
#define REP(i,a,n) for(int i=a;i<=n;++i)
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N = 1e6+10;
int n;
ll dp[N][3];
char s[N];

int main() {
	scanf("%s", s+2);
	n = strlen(s+2)+1;
	REP(i,2,n) {
		if (s[i]=='Q') {
			dp[i][2] = dp[i-2][1];
			dp[i][0] = 1;
		}
		else if (s[i]=='A') {
			dp[i][1] = dp[i-2][0];
		}
		REP(j,0,2) dp[i][j]+=dp[i-1][j];
	}
	printf("%lld\n", dp[n][2]);
}

2. CF 877B

定义一个好字符串为可以分成三段(可能为空), 满足第一段全'a',第二段全'b',第三段全'a'的字符串. 给定字符串s,可以删除若干字符, 要求使s成为好字符串且长度最长, 输出最大长度.

$dp[i][0]$ 匹配第一段的最大长度

$dp[i][1]$ 匹配第二段的最大长度

$dp[i][2]$ 匹配第三段的最大长度

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string.h>
#define REP(i,a,n) for(int i=a;i<=n;++i)
using namespace std;

const int N = 1e6+10;
int n, f[3];
char s[N];

int main() {
	scanf("%s", s+1);
	n = strlen(s+1);
	REP(i,1,n) {
		if (s[i]=='a') ++f[0],++f[2];
		else ++f[1];
		f[1] = max(f[1], f[0]);
		f[2] = max(f[2], f[1]);
	}
	printf("%d\n", f[2]);
}

3. CF 1155 D

大意: 给定序列, 可以任选个子段全部乘以$x$, 可以不乘,子段可以为空, 求最大子段和.

最优解可以分成三段: 前一部分不乘, 中间乘$x$, 后一部分不乘.

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define REP(i,a,n) for(int i=a;i<=n;++i)
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N = 1e6+10;
int n, x, a[N];
ll dp[N][3];

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &x);
	REP(i,1,n) scanf("%d", a+i);
	ll ans = 0;
	REP(i,1,n) {
		dp[i][0] = dp[i-1][0]+a[i];
		dp[i][1] = dp[i-1][1]+(ll)x*a[i];
		dp[i][2] = dp[i-1][2]+a[i];
		dp[i][0] = max(dp[i][0], 0ll);
		dp[i][1] = max(dp[i][1], dp[i][0]);
		dp[i][2] = max(dp[i][2], dp[i][1]);
		ans = max(ans, dp[i][2]);
	}
	printf("%lld\n", ans);
}

4. luogu P2389

大意: 给定序列, 要求选出$k$个连续段, 可以为空, 使得和尽量大.

$dp[0][i][j]$为前$i$个数分成$j$段, 第$j$段正在匹配中的最大值.

$dp[1][i][j]$为前$i$个数分成$j$段, 第$j$段已经匹配完成的最大值.

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define REP(i,a,n) for(int i=a;i<=n;++i)
using namespace std;

const int N = 1e3+10;
int n, k, dp[2][N][N], a[N];

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &k);
	REP(i,1,n) scanf("%d", a+i);
	int ans = 0;
	REP(i,1,n) REP(j,1,k) {
		dp[0][i][j] = max(dp[1][i-1][j-1],dp[0][i-1][j])+a[i];
		dp[1][i][j] = max(dp[1][i-1][j],dp[0][i][j]);
	}
	printf("%d\n", dp[1][n][k]);
}