CF2112C Coloring Game

CF2112C Coloring Game

题意

Alice 和 Bob 正在玩一个游戏，使用一个大小为 \(n\) ( \(1 \leq n \leq 5000\) ) 的整数数组 \(a\)。

\(a\) 数组中的元素已从小到大排序。

初始时，数组中的所有元素都是无色的。

首先，Alice 选择 \(3\) 个元素并将它们染成红色。

然后 Bob 选择任意一个元素并将其染成蓝色（如果它已经是红色，则覆盖）。

如果红色元素的和严格大于蓝色元素的值，Alice 获胜。

你的任务是计算 Alice 选择 \(3\) 个元素的方式数，使得无论 Bob 如何操作，Alice 都能获胜。

题解

假设 Alice 已经选了三个元素 \((a_i,a_j,a_k)\)，满足 \(i<j<k\)。

假设 Bob 选了 \(a_x\)，显然 \(a_x\) 只会是 \(a_n\) 或者 \(a_k\) ，所以有：

\[s.t.
\left\{
\begin{array}{}
a_i+a_j+a_k>a_n\\
a_i+a_j>a_k
\end{array}
\right.
\]

转换一下，有 \(a_n-a_i-a_j+1\leq a_k\leq a_i+a_j\)，由于 \(n\) 最大只有 \(5000\)，可以 \(O(n^2)\) 的枚举 \(a_i\) 和 \(a_j\) ，再用树状数组维护出 \(a_k\)，做到 \(O(n^2 \log V)\)。

具体的，由于需要满足 \(i<j<k\)，所以我们要倒序枚举 \(a_j\) ，同时维护 \(a_k\)，再枚举 \(a_i\) 计算答案，详见代码。

注意每个测试点结束后要清空树状数组，而且不能暴力清空，得写一个 \(\text{del}\) 函数，详见代码。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5005;
const int M=1e5+5;
int n;
int a[N];

//树状数组
int t[M];
void upd(int x){ for(;x<M;x+=x&(-x)) t[x]++; }
void del(int x){ for(;x<M;x+=x&(-x)) t[x]--; }
int ask(int x){
    if(x<=0) return 0;
    int res=0;
    for(;x;x-=x&(-x)) res+=t[x];
    return res;
}

void solve(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    int an=a[n];
    long long ans=0;
    for(int j=n-1;j>=2;j--){//枚举 a_j
        upd(a[j+1]);//维护 a_k
        for(int i=j-1;i>=1;i--)//枚举 a_i
            ans+=(long long)max(0,ask(min(an,a[i]+a[j]-1))-ask(an-a[i]-a[j]));
    }
    cout<<ans<<"\n";
    for(int i=3;i<=n;i++) del(a[i]);//清空树状数组
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int T; cin>>T;
    while(T--) solve();
    return 0;
}