对背包dp的再探究：以 采药 和 疯狂的采药 为例

题目链接：

01背包：采药

完全背包：疯狂的采药

关于 "总体积刚好是 V " 和 ”总体积 \(\le\) V “

正常的背包推导的都是 ”总体积刚好是 V “。这一点很重要，而且大部分题问的都是这种。

而 ”总体积 \(\le\) V “，只需要求一发前缀 \(\min\) 即可。两道例题就是这种情况，特此写下。

	F(i, 0, vmax) ans = max(ans, f[n][i]);

01背包

两种写法：

记 \(f[i][j]\) 表示前 \(i\) 个物品，总体积强制为 \(j\) 的最大价值。

	F(i, 1, n){
		F(j, 0, vmax){
			if(j < a[i]) f[i][j] = f[i - 1][j];
			else f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - a[i]] + b[i]);
		}
	}

记 \(f[j]\) 表示当前考虑了前 \(i\) 个物品，总体积强制为 \(j\) 的最大价值。

	F(i, 1, n){
		G(j, vmax, a[i]){
			f[j] = max(f[j], f[j - a[i]] + b[i]);
		}
	}

思考1：为什么可以省掉物品这一维？

• 首先，我们只关注 \(f[i - 1][0 \sim j]\) 和 \(f[i][0 \sim j]\) 的状态。（这也是滚动数组的依据）

• 那么，我们可以用 \(f[0 \sim j]\) 更新前 和 更新后的状态分别表示 \(f[i - 1]\) 和 \(f[i]\)。

思考2：为什么一维写法要倒着枚举体积？

• 一维写法：由于 每个物品最多选一次，因此，如果正着枚举体积，那么（根据思考1）更小的 \(j\) 已是更新后的 状态，这样再来更新当前的 \(f[j]\)， 一件物品可能会被重复选择，是有问题的。

完全背包

记 \(f[i][j]\) 表示前 \(i\) 个物品，总体积强制为 \(j\) 的最大价值。

	F(i, 1, n){
		F(j, 0, vmax){
			if(j < a[i]) f[i & 1][j] = f[(i - 1) & 1][j];
			else f[i & 1][j] = max(f[(i - 1) & 1][j], f[i & 1][j - a[i]] + b[i]);
		}
	}

记 \(f[j]\) 表示当前考虑了前 \(i\) 个物品，总体积强制为 \(j\) 的最大价值。

	F(i, 1, n){
		F(j, a[i], vmax){
			f[j] = max(f[j], f[j - a[i]] + b[i]);
		}
	}

思考3：为什么完全背包是正着枚举的？

• 因为一件物品可以被选择无数次。

思考4：两种背包的二维写法有何不同？为什么？

• 01背包是从 \(f[i - 1][j - a[i]]\) 转移来的，而完全背包是从 \(f[i][j - a[i]]\) 转移过来的。因为 \(f[i - 1]\) 始终是 一件当前物品都还没选到 的状态。