关于NIM博弈结论的证明

关于NIM博弈结论的证明

NIM博弈：有k（k>=1)堆数量不一定的物品（石子或豆粒…）两人轮流取，每次只能从一堆中取若干数量（小于等于这堆物品的数量）的物品，判定胜负的条件就是，最后一次取得人即获胜（也就是说不能取得人失败）

假设这两个人A，B，并且有若干堆物品，A先手，那么A必胜，还是B必胜，必胜的策略是什么？

为了更容易的理解，现在考虑一种特殊情况，如果只有两堆物品，如果两堆物品相同的话，A先从一堆中取走x个物品，那么B只需要从另一堆中同样取走x个物品保证两堆物品的数量相同，那么这样就能保证B获得最后的胜利，这样就得到必胜的策略，保证每堆物品的数量是相同的。

这种2-堆的NIM博弈，也可以扩展到k-堆的NIM博弈中，任意一个数都可以表示成n个二进制的加和，例如 57=2^0+2^3+2^4+2^5，我们可以将这堆物品（57个）是有2^0个，2^3个，2^4个，2^5个这些子堆组成的，显然如果最后每种 子堆的数量是偶数，那么先手必败，如果是奇数那么先手必胜，这就是如果n堆物品的异或为零，那么每种 子堆的数量就是偶数，先手必败，如果不为零，那么每种 子堆的数量就是奇数，先手必胜，到此NIM博弈结论证明完毕。