一、RSA与公钥加密系统的起源与影响。

为了更好地突出公钥加密系统相对私钥加密系统的优势,让我们从这两个问题开始:

这个世界上如果没有公钥加密系统会怎么样呢?全用私钥加密系统会出现什么问题呢?

首先,私钥密码系统中的密码,加密解密之间是存在共享性的,也就是说,会加密就能做到会解密,会解密也就能做到会加密。

如果私钥密码系统用来做数字签名,会发生什么呢?你只要告诉了别人验证你的数字签名的正确性方法(解密),就同时告诉了他们伪造这个数字签名的方法(加密)。瞬间爆炸Orz。

其次,私钥加密系统需要有一次绝对保密的初始化过程。双方需要保密地交流一次约定加密方式。

在以往,这个过程都通过线下保证了保密。比如特工在出发前就跟总部约定好加密方式。

互联网时代这就出现问题了。如果你开了一个网站,需要跟每个用户进行保密交流。你很难跟每个用户都线下碰次头约定一下加密问题。可是如果交流全在网络上进行的话,双方约定加密方式的那几条信息本身用啥来加密呢。。。这就很尴尬了(ಡωಡ)

1977年,罗纳德·李维斯特(Ron Rivest)、阿迪·萨莫尔(Adi Shamir)和伦纳德·阿德曼(Leonard Adleman)(膜一发图灵奖Orz)将大数因式分解的不对称性与对密码系统不对称性的需求联系起来,创造了第一个公钥加密系统,RSA算法。迄今为止,2048位的RSA秘钥仍是非常安全的,在全世界被广泛使用。

(这种关联的能力或许就是创造力的核心源泉之一吧,我想,RSA如同蒙拉丽莎的微笑,“独钓寒江雪”的意境,都是人类巅峰创造力的结晶)

二、RSA的分析。

先直接奉上RSA加密流程

找两个不相同的素数p,q.设n=pq

取d,e使de=1+k(p-1)(q-1)成立

对于原文M(一个01串),加密方式为C=M^e mod n,C即为密文

解密方式为 N=C^d mod n

最后有 N ≡ M mod n

实际操作时n公开,e,d公开一个, q,p保密

正确性证明

N=C^d=M^ed=M^(1+k(p-1)(q-1))=M*M^k(p-1)(q-1)

因为p,q都是素数,由费马小定理:M^(p-1)≡1 (mod p) ,M^(q-1)≡1 (mod p)

得C≡M(mod p)

费马小定理是欧拉定理的特例,考虑到后面的需要,在这里直接证明欧拉定理及欧拉函数的一些性质:

另外由于d,e是对称的,d可以用来解密e发来的消息也可以用来加密只给e看的消息。

即加密方式C也可以为C=M^d mod n,解密方式为 N=C^e mod n

三、密钥的生成

怎么找到一个足够大的素数呢?

我自己的第一反应是筛法。。可是马上意识到如果能从遍历找q,p就能遍历破p,q。其次如果要遍历找高达2048位的素数即使计算机运算速度亿亿次每秒,也足够算到地老天荒。(粗略估算了下结果是个高达几百位的数字,单位年)

从而遍历的办法是肯定不行的。但联想欧拉函数在n充分大的时候趋近于n/lnn(即n非常大的时候小于n的素数个数大约为n/lnn,该命题已被证明但我不会证),我们可以知道2048位的数中素数的密度并不算很小,几千分之一的样子。

如果有一个算法可以判断出一个数是不是素数,再猜个几千次,我们就能得到想要的2048位的素数了。

于是引出另一个神奇的算法:Miller-Rabin算法(又出现了一个图灵奖的名字Orz)

Miller-Rabin算法的思想起源于对费马小定理的逆定理的研究。

费马小定理说,对一个素数p,对任意的小于p并大于1的自然数a有ap-1≡1 mod p。

那么如果一个数不满足上述性质,那它肯定是合数。并且绝大部分合数甚至只用a=2做判断便可以让其现形,在小于10000的数中,只有22个合数能逃过以2为底的判断(即只有22个数满足2n-1≡1 mod n,且n是合数)。这些数被称为基于2的伪素数(Fermat pseudoprime to base a)。以此类推还有以a=3为底的为素数,以n为底的伪素数。

看上去似乎费马小定理的逆定理是成立的,如果选取足够多的底,或许没有合数可以逃过判断。

但很遗憾的,并不是。1729 = 7×13×19就可以逃过所有判断,而它是合数。此外还有561,2465等(它们被统称为carmichael number)

这个最初的思想叫做费马素性检验,米勒(Miller)和拉宾(Rabin)改进了它,创造出了更加具有实用性的Miller-Rabin算法。

该算法源于这样一个结论,对于一个奇素数p,令p-1=2tu,其中t>=1且u是奇数。对i=0,1,2. t

               

xi形成的序列{x0,x1,..,xt}必为{1,1,1,    ,1}或{x,y,z,____,-1,1,1,1,1}

原因很简单,如果p是素数,一个数mod p余1,那把它开平方自然有余1或-1.

以下证明Miller-Rabin测试对任何一个奇合数都能找到至少(n-1)/2个a使得生成的序列不满足上述结论(称这样的a为证据),包括carmichael number。

(参考文献:算法导论)

在实际测试中,并不会找出所有比待测数小的数字进行测试。因为2048位的整数实在太大了。但如果选取s个数进行测试,出错的概率至多为2-s。(即待测数明明是个合数,却测出来是个素数)。选1万个数测试就非常保险了。

综上,在寻找RSA密钥的过程中,利用素数密度为lnn/n的特点,知道了2048位整数中选几万奇数就极可能其中有素数。对这些数分别进行素数测试,如果选一万个数测试,每个数的出错概率为2的一万次幂分之一。几万个数总的出错概率非常非常低。于是找到了相当靠谱的2048位素数。

实际应用中似乎还有一些技巧用来使生成的素数更保险。但这不在我这篇文章的讨论范围里了。

以上。

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