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数位 dp 好题。

首先,由于是凸包,一但向量集合确定,凸包的形态肯定就已经确定了。考虑什么样的向量集合能够组成符合条件的凸包,我们假设第 \(i\) 个向量选了 \(c_i\) 次。因为凸包是首尾相连的,所以必然有 \(\sum\limits_{i=1}^nc_ix_i=0,\sum\limits_{i=1}^nc_iy_i=0\)。上式也可写作 \(\sum\limits_{x_i>0}c_ix_i=\sum\limits_{x_i<0}c_i(-x_i),\sum\limits_{y_i>0}c_iy_i=\sum\limits_{y_i<0}c_i(-y_i)\)。其次,由于凸包能够被放到 \(m\times m\) 的矩形内,所以凸包横纵坐标的极差必须 \(\le m\),以横坐标为例,还是因为原图是一个凸包,所以凸包的横坐标肯定是先涨一段,再跌到最低点,再涨到 \(0\),因此横坐标的极差为 \(\sum\limits_{x_i<0}c_i(-x_i)\),同理纵坐标的极差为 \(\sum\limits_{y_i<0}c_i(-y_i)\),因此一组 \(\{c_1,c_2,\cdots,c_n\}\) 符合条件的充要条件是:

  • \(\sum\limits_{x_i>0}c_ix_i=\sum\limits_{x_i<0}c_i(-x_i),\sum\limits_{y_i>0}c_iy_i=\sum\limits_{y_i<0}c_i(-y_i)\)
  • \(\sum\limits_{x_i<0}c_i(-x_i)\le m,\sum\limits_{y_i<0}c_i(-y_i)\le m\)

接下来思考怎样求符合条件的 \(\{c_1,c_2,\cdots,c_n\}\) 的个数。注意到 \(n\) 很小,值域也很小,因此考虑数位 DP,考虑从低到高逐位确定 \(c_i\) 每一位的值,记 \(dp_{d,px,py,nx,ny,p,q}\) 表示当前确定了最低的 \(d\) 位,当前为正的 \(x_i\) 的 \(\sum c_ix_i\) 产生了 \(px\) 的进位,当前为负的 \(x_i\) 的 \(\sum c_i(-x_i)\) 产生了 \(nx\) 的进位,当前为正的 \(y_i\) 的 \(\sum c_iy_i\) 产生了 \(py\) 的进位,当前为负的 \(x_i\) 的 \(\sum c_i(-y_i)\) 产生了 \(ny\) 的进位,当前 \(\sum\limits_{x_i>0} c_ix_i\) 的后 \(d\) 位是否 \(\le m\) 的后 \(d\) 位,当前 \(\sum\limits_{y_i>0} c_iy_i\) 的后 \(d\) 位是否 \(\le m\) 的后 \(d\) 位的符合条件的 \(\{c_i\}\) 的个数,转移就枚举这 \(n\) 个数第 \(d+1\) 位的值即可。

复杂度 \(20^4·2^5·\log m\),可以通过。写成记忆化搜索的形式可能会跑得快一点。

总结:看到求 \(\sum\limits_{i=1}^na_ic_i=X\) 的 \(\{c_i\}\) 的组数,并且 \(n,a_i\) 都很小而 \(X\) 很大的题目可以想到数位 DP,类似的还有这个题

  1. const int MOD=998244353;
  2. int n,m,x[7],y[7],dp[34][23][23][23][23][2][2];
  3. void add(int &x,int v){((x+=v)>=MOD)&&(x-=MOD);}
  4. int chk(int dm,int dn,int ori){
  5. if(dm^dn) return (dn<dm)?0:1;
  6. return ori;
  7. }
  8. int calc(int p,int ps_x,int ps_y,int ng_x,int ng_y,int xm,int ym){
  9. if(p==30) return (!ps_x&&!ps_y&&!ng_x&&!ng_y&&!xm&&!ym);
  10. if(~dp[p][ps_x][ps_y][ng_x][ng_y][xm][ym]) return dp[p][ps_x][ps_y][ng_x][ng_y][xm][ym];
  11. int d=m>>p&1;dp[p][ps_x][ps_y][ng_x][ng_y][xm][ym]=0;
  12. for(int s=0;s<(1<<n);s++){
  13. int tps_x=ps_x,tps_y=ps_y,tng_x=ng_x,tng_y=ng_y;
  14. for(int i=1;i<=n;i++) if(s>>(i-1)&1){
  15. (x[i]>0)?(tps_x+=x[i]):(tng_x-=x[i]);
  16. (y[i]>0)?(tps_y+=y[i]):(tng_y-=y[i]);
  17. } int d_px=tps_x&1,d_py=tps_y&1,d_nx=tng_x&1,d_ny=tng_y&1;
  18. if(d_px==d_nx&&d_py==d_ny)
  19. add(dp[p][ps_x][ps_y][ng_x][ng_y][xm][ym],
  20. calc(p+1,tps_x>>1,tps_y>>1,tng_x>>1,tng_y>>1,chk(d,d_px,xm),chk(d,d_py,ym)));
  21. } return dp[p][ps_x][ps_y][ng_x][ng_y][xm][ym];
  22. }
  23. int main(){
  24. scanf("%d%d",&n,&m);
  25. for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
  26. memset(dp,-1,sizeof(dp));
  27. printf("%d\n",(calc(0,0,0,0,0,0,0)-1+MOD)%MOD);
  28. return 0;
  29. }

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