Codeforces 1290F - Making Shapes（数位 dp）

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数位 dp 好题。

首先，由于是凸包，一但向量集合确定，凸包的形态肯定就已经确定了。考虑什么样的向量集合能够组成符合条件的凸包，我们假设第 \(i\) 个向量选了 \(c_i\) 次。因为凸包是首尾相连的，所以必然有 \(\sum\limits_{i=1}^nc_ix_i=0,\sum\limits_{i=1}^nc_iy_i=0\)。上式也可写作 \(\sum\limits_{x_i>0}c_ix_i=\sum\limits_{x_i<0}c_i(-x_i),\sum\limits_{y_i>0}c_iy_i=\sum\limits_{y_i<0}c_i(-y_i)\)。其次，由于凸包能够被放到 \(m\times m\) 的矩形内，所以凸包横纵坐标的极差必须 \(\le m\)，以横坐标为例，还是因为原图是一个凸包，所以凸包的横坐标肯定是先涨一段，再跌到最低点，再涨到 \(0\)，因此横坐标的极差为 \(\sum\limits_{x_i<0}c_i(-x_i)\)，同理纵坐标的极差为 \(\sum\limits_{y_i<0}c_i(-y_i)\)，因此一组 \(\{c_1,c_2,\cdots,c_n\}\) 符合条件的充要条件是：

• \(\sum\limits_{x_i>0}c_ix_i=\sum\limits_{x_i<0}c_i(-x_i),\sum\limits_{y_i>0}c_iy_i=\sum\limits_{y_i<0}c_i(-y_i)\)
• \(\sum\limits_{x_i<0}c_i(-x_i)\le m,\sum\limits_{y_i<0}c_i(-y_i)\le m\)

接下来思考怎样求符合条件的 \(\{c_1,c_2,\cdots,c_n\}\) 的个数。注意到 \(n\) 很小，值域也很小，因此考虑数位 DP，考虑从低到高逐位确定 \(c_i\) 每一位的值，记 \(dp_{d,px,py,nx,ny,p,q}\) 表示当前确定了最低的 \(d\) 位，当前为正的 \(x_i\) 的 \(\sum c_ix_i\) 产生了 \(px\) 的进位，当前为负的 \(x_i\) 的 \(\sum c_i(-x_i)\) 产生了 \(nx\) 的进位，当前为正的 \(y_i\) 的 \(\sum c_iy_i\) 产生了 \(py\) 的进位，当前为负的 \(x_i\) 的 \(\sum c_i(-y_i)\) 产生了 \(ny\) 的进位，当前 \(\sum\limits_{x_i>0} c_ix_i\) 的后 \(d\) 位是否 \(\le m\) 的后 \(d\) 位，当前 \(\sum\limits_{y_i>0} c_iy_i\) 的后 \(d\) 位是否 \(\le m\) 的后 \(d\) 位的符合条件的 \(\{c_i\}\) 的个数，转移就枚举这 \(n\) 个数第 \(d+1\) 位的值即可。

复杂度 \(20^4·2^5·\log m\)，可以通过。写成记忆化搜索的形式可能会跑得快一点。

总结：看到求 \(\sum\limits_{i=1}^na_ic_i=X\) 的 \(\{c_i\}\) 的组数，并且 \(n,a_i\) 都很小而 \(X\) 很大的题目可以想到数位 DP，类似的还有这个题。

const int MOD=998244353;
int n,m,x[7],y[7],dp[34][23][23][23][23][2][2];
void add(int &x,int v){((x+=v)>=MOD)&&(x-=MOD);}
int chk(int dm,int dn,int ori){
	if(dm^dn) return (dn<dm)?0:1;
	return ori;
}
int calc(int p,int ps_x,int ps_y,int ng_x,int ng_y,int xm,int ym){
	if(p==30) return (!ps_x&&!ps_y&&!ng_x&&!ng_y&&!xm&&!ym);
	if(~dp[p][ps_x][ps_y][ng_x][ng_y][xm][ym]) return dp[p][ps_x][ps_y][ng_x][ng_y][xm][ym];
	int d=m>>p&1;dp[p][ps_x][ps_y][ng_x][ng_y][xm][ym]=0;
	for(int s=0;s<(1<<n);s++){
		int tps_x=ps_x,tps_y=ps_y,tng_x=ng_x,tng_y=ng_y;
		for(int i=1;i<=n;i++) if(s>>(i-1)&1){
			(x[i]>0)?(tps_x+=x[i]):(tng_x-=x[i]);
			(y[i]>0)?(tps_y+=y[i]):(tng_y-=y[i]);
		} int d_px=tps_x&1,d_py=tps_y&1,d_nx=tng_x&1,d_ny=tng_y&1;
		if(d_px==d_nx&&d_py==d_ny)
			add(dp[p][ps_x][ps_y][ng_x][ng_y][xm][ym],
			calc(p+1,tps_x>>1,tps_y>>1,tng_x>>1,tng_y>>1,chk(d,d_px,xm),chk(d,d_py,ym)));
	} return dp[p][ps_x][ps_y][ng_x][ng_y][xm][ym];
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
	memset(dp,-1,sizeof(dp));
	printf("%d\n",(calc(0,0,0,0,0,0,0)-1+MOD)%MOD);
	return 0;
}