[atARC080F]Prime Flip

构造一个数组$b_{i}$（初始为0），对于操作$[l_{i},r_{i}]$，令$b_{l_{i}}$和$b_{r_{i}+1}$值异或1，表示$i$和$i-1$的差值发生改变，最终即要求若干个$b_{i}$为1，其余为0

对于一组合法方案，通过重新排列操作的顺序，使得每一次操作都有至少一个修改是$b_{i}$由1变为0，然后进行以下构造：

1.仅有1个$b_{i}$由1变为0（即另一个$b_{i}$是由0变成1），我们将其称之为移动，即将这个$b_{i}$移动到了另一个位置，其中移动的距离必须为奇素数

2.两个都由1变为0，可以看作移动到了与另一个1相同的位置上，那么就可以消除，称之为匹配，显然每一个初始为1的位置出现且仅出现在一个匹配内

根据匹配的独立性，对于一组给定的匹配方式，即求每一对数$(x,y)$相同所需要的最小次数之和，同时由于加减互为逆运算，可以看作由$x$变为$y$（即不移动$y$）

求$x$变为$y$的最小次数，对$x$和$y$分类讨论：

1.$x=y$，答案为0

2.$|y-x|$为奇素数，答案为1

3.$|y-x|$为偶数，根据哥德巴赫猜想，答案为2（特别的，2=5-3）

4.$|y-x|$为其他情况，选择一个比其小的奇素数，剩下的偶数部分再分为两个奇素数，因此答案为3（特别的，1=3+3-5，3和5都为素数，是第2种情况）

对于第1种情况，直接贪心匹配，即对于一个连续的$a_{i}$，只需要记录左端点和右端点+1即可

假设初始为1的位置中，有$x$个奇数，$y$个偶数，然后选择了$k$对奇偶使得差为奇素数，然后对于剩下的显然尽量使用第3种，答案即$k+2(\lfloor\frac{x-k}{2}\rfloor+\lfloor\frac{y-k}{2}\rfloor)+3((x-k)mod\ 2)$

由于$2\lfloor\frac{x-k}{2}\rfloor=x-k-(x-k)mod\ 2$，同时$x-k\equiv y-k(mod\ 2)$（1总数为偶数），因此可以化简为$x+y-k+((x-k)mod\ 2)$

当$k$增大后上式一定单调不减，因此仅连奇素数的边，求最大匹配即可，时间复杂度为$o(n^{2})$

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 205
 4 #define M 10000005
 5 struct ji{
 6     int nex,to;
 7 }edge[N*N*2];
 8 vector<int>v;
 9 int E,n,x,ans,p[M],vis[M],a[N],head[N],match[N];
10 void add(int x,int y){
11     edge[E].nex=head[x];
12     edge[E].to=y;
13     head[x]=E++;
14 }
15 bool dfs(int k){
16     if (vis[k])return 0;
17     vis[k]=1;
18     for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex)
19         if ((match[edge[i].to]==-1)||(dfs(match[edge[i].to]))){
20             match[k]=edge[i].to;
21             match[edge[i].to]=k;
22             return 1;
23         }
24     return 0;
25 }
26 int main(){
27     for(int i=2;i<M-4;i++){
28         if (!vis[i])p[++p[0]]=i;
29         for(int j=1;(j<=p[0])&&(i*p[j]<M-4);j++){
30             vis[i*p[j]]=1;
31             if (i%p[j]==0)break;
32         }
33     }
34     vis[0]=vis[1]=vis[2]=1;
35     scanf("%d",&n);
36     for(int i=1;i<=n;i++){
37         scanf("%d",&x);
38         a[2*i-1]=x;
39         a[2*i]=x+1;
40     }
41     n*=2;
42     sort(a+1,a+n+1);
43     for(int i=1;i<=n;i++)
44         if (((i==1)||(a[i]!=a[i-1]))&&((i==n)||(a[i]!=a[i+1])))v.push_back(a[i]);
45     n=v.size(),x=0;
46     for(int i=0;i<n;i++)
47         if (v[i]&1)x++;
48     memset(head,-1,sizeof(head));
49     for(int i=0;i<n;i++)
50         for(int j=0;j<n;j++)
51             if (!vis[abs(v[i]-v[j])])add(i,j);
52     memset(match,-1,sizeof(match));
53     for(int i=0;i<n;i++)
54         if (v[i]&1){
55             memset(vis,0,sizeof(vis));
56             ans+=dfs(i);
57         }
58     printf("%d",n-ans+((ans&1)!=(x&1)));
59 }