YbtOJ#482-爬上山顶【凸壳,链表】

正题

题目链接:https://www.ybtoj.com.cn/contest/116/problem/2

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题目大意

\(n\)个点，\(x\)坐标递增，第\(i\)个点向第\(j\)个点连边。

开始一个人在点\(s\)，他会向他看到过的\(y\)坐标最大的点的方向走（两个点之间能够看到当且仅当它们之间没有边或者点）。

求对于每个\(s\)走到\(y\)坐标最大的点的经过点数。

\(y\)值同样的以编号大的算大

\(1\leq n\leq 5\times 10^5,1\leq x_i,y_i\leq 10^6\)

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解题思路

先考虑每个点能看到的最高的点。

维护一个前缀的上凸壳，然后每次把该点连接的那个点就是这个点在凸壳方向能看到的最高的点。

左右各做一次就好了。

然后考虑怎么处理答案，先把所有点按照目标点的高度排序，然后每个点找到它的方向上在它前面的第一个点作为它的真正目标点。然后倒序转移就好了。

找真正目标点的过程可以反过来然后用链表实现

时间复杂度\(O(n\log n)\)（写基排就\(O(n)\)了）

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=5e5+10;
ll n,x[N],y[N],pos[N],s[N],l[N],r[N],p[N],f[N];
ll xj(ll a,ll b,ll c){
	ll x1=x[b]-x[a],y1=y[b]-y[a];
	ll x2=x[c]-x[a],y2=y[c]-y[a];
	return x1*y2-x2*y1;
}
bool cmp(ll a,ll b){
	return y[p[a]]*n+p[a]<y[p[b]]*n+p[b];
}
signed main()
{
//	freopen("mountain.in","r",stdin);
//	freopen("mountain.out","w",stdout);
	scanf("%lld",&n);
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld%lld",&x[i],&y[i]),pos[i]=i;
	ll top=0;s[++top]=1;
	for(ll i=2;i<=n;i++){
		while(top>1&&xj(s[top-1],s[top],i)>0)top--;
		p[i]=s[top];s[++top]=i;
	}
	top=1;s[top]=n;
	for(ll i=n-1;i>=1;i--){
		while(top>1&&xj(s[top-1],s[top],i)<0)top--;
		if(y[s[top]]>=y[p[i]])p[i]=s[top];s[++top]=i;
	}
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		if(y[p[i]]*n+p[i]<y[i]*n+i)p[i]=0;
	y[0]=1e9;
	sort(pos+1,pos+1+n,cmp);
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		l[i]=i-1,r[i]=i+1;
	for(ll i=1;i<n;i++){
		ll x=pos[i];
		if(p[x]>x)p[x]=r[x];
		else p[x]=l[x];
		l[r[x]]=l[x];r[l[x]]=r[x];
	}
	for(ll i=n-1;i>=1;i--){
		ll x=pos[i];
		f[x]=f[p[x]]+abs(p[x]-x);
	}
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		printf("%lld\n",f[i]);
	return 0;
}